Chapitre 7

D´veloppements limit´s e e
1 D´veloppements limit´s e e

La notion de d´veloppement limit´ permet d’approximer une fonction au voisinage d’un e e point par un polynˆme. Plus l’ordre du d´veloppement est ´lev´ meilleure est l’approximation. o e e e Concr`tement, pour ´tudier une expression au voisinage d’un point (comme le calcul d’une e e limite par exemple), il suffira de remplacer les fonctions ´labor´es par leur d´veloppement e e e limit´. e D´finition 1.0.1 Soit f une fonction d´finie au voisinage de x0 , mais pas forc´ment en e e e x0 . On dit que f admet un d´veloppement limit´ d’ordre n au voisinage de x 0 , s’il existe e e des nombres a0 , a1 , . . . , an et une fonction d´finie au voisinage de x0 v´rifiant e e f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n (x) et x→x0 lim (x) = 0

Le polynˆme a0 +a1 (x−x0 )+· · ·+an (x−x0 )n s’appelle partie principale du d´veloppement o e limit´ et le terme (x − x0 )n (x) s’appelle le reste. e Remarque : Dire que f admet un d´veloppement limit´ ` l’ordre n en x0 signifie qu’il e ea existe des nombres a0 , a1 , . . . , an tels que lim f (x) − a0 − a1 (x − x0 ) − · · · − an (x − x0 )n =0 (x − x0 )n

x→x0

Plus n est grand meilleure est donc l’approximation de f (x) par le polynˆme a 0 + a1 (x − o x0 ) + · · · + an (x − x0 )n au voisinage de x0 . Remarque : La fonction x → f (x) admet un d´veloppement limit´ d’ordre n au voisinage e e de x0 si et seulement si la fonction h → f (x0 + h) admet un d´veloppement limit´ d’ordre e e n au voisinage de 0. En effet : Si l’on pose x = x0 + h f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n (x) ´quivaut ` e a f (x0 + h) = a0 + a1 h + · · · + an hn + hn (x0 + h)

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´ ´ CHAPITRE 7. DEVELOPPEMENTS LIMITES

et (x) tend vers 0 quand x tend x0 si et seulement si (x0 + h) tend vers 0 quand h tend vers 0. Il suffit donc d’´tudier la th´orie des d´veloppements limit´s au voisinage de 0. e e e e Exemples : • Soit n un entier