Sîn

tous θ ∈ ]0, [ et n ∈ * : 2 n  sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2. On considère, pour n ∈ 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ j =0 * ( ) n− j [On pourra utiliser la formule de Moivre] , le polynôme Pn défini par : n  Pn = 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 X n − j j =0 Démontrer que les n racines de Pn sont les réels : αk = cotan2 n kπ ,1 2n + 1 k n. 3. Montrer que : k =1 cotan2 kπ n( 2n − 1) = . 2n + 1 3 π 1 [, on a : sin θ < θ < tan θ. En déduire : cotan2 θ <

′ = − 1 + 2. On considère z et z i. 2 2 Calculer les nombres complexes suivants : (a) 4zz ′ (b) z 3 (c) z z′  Exercice 2 (... de la linéarisation pour continuer ...) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = cos(x) × sin(2x) × cos(3x). 1. En utilisant les formules d’Euler, montrer que l’expression f (x) peut s’écrire f (x) = 1 6ix e − e−6ix + e4ix − e−4ix − e2ix + e−2ix . 8i 2. En déduire une écriture de f (x) sous la forme d’une somme de fonctions trigonométriques

qui a pour objet les relations entre les points, les droites, les courbes, les surfaces et les volumes dans l'espace). Et en physique il est vu comme l'un des fondateurs du mécanisme, c'est a lui qu'on doit les lois sur la réfraction. (n1 x sin i1 = n2 x sin i2) René Descartes est né le 31 mars 1596 à Haye et il est décédé le 5 février 1650 à Stockholm, il était alors âgé de 53 ans. C'était un mathématicien, physicien et philosophe français. A l'âge de 8 ans il entre au collège des jésuites, il fréquente

transformées de Hilbert des signaux suivants : F(t) =f'"(t) , f(t) =flt+a) , fy(t)=flat) aemR’. 2) En écrivant que les signaux : a(t) = 8(t—2) , b(t)=a(t—1/2) , c(t) = Y(t) e* sont causaux, déterminer les transformées de Hilbert des signaux suivants : sin 2nt f(t) = 1 d(t) = cos 2nt , elt) = : ae itL= cos 2nt » olf) © aoe T+4nt 3) Déduire de ce qui précéde les signaux analytiques G(t), H(t), I(t) associés respectivement &amp; : glt) = cost , hit) == _ id= 1+? ° S. 1) Nous avons : -1 1 d =

Exercice 1: ABD est rectangle en A. tan(ABD) = DA/AB donc ABD = Arctan(10/8) = Arctan(5/4) CHB est rectangle en H donc sin(CBH) = CH/CB donc CH = CBsin(CBH) Or CBH = CBD + ABD Si on note F le point tel que CFBE est un rectangle alors: CBD = CBF cos(CBF) = BF / CB donc CBD = Arccos(BF/CB) CBE est rectangle en E donc CB^2 = 10^2 + 20^2 = 500 donc CB = 10V5 CH = CBsin(CBH) = 10V5(sin ( Arccos(2V5/5) + Arctan(5/4)) ça doit être ça je pense Exercice 2: Je note $ les vecteurs. 1) ($OI,$OA) = PI ($OI,$OA)

calculatrice, détermine le sinus des angles d’incidence et de réfraction. 5. Calcule le rapport sin i/sin R pour chaque paire d’angles. 6. Construis un second graphique montrant le sinus de l’angle d’incidence en fonction du sinus de l’angle de réfraction. Tableau des données des angles incidence et de réfraction Observation Angle d’incidence(i) Angle de réfraction(R) Sin i Sin R 1 0 º 0 º 0 0 2 10 º 7 º 0.1736 0.1219 3 20 º 14.5

r d e s fo n ct i on s c irc u la ire s e t d e s n om b re s com pl ex e s 487 π π 1 ) = sin( + π) = − . D’o` α = 23π . u 6 6 2 π 835 π ) = tan(− ). D’o` β = − π , puisque − π ∈] − π , π [. u – On a tan( 4 4 2 2 4 4 683 π π – On a sin(− ) = sin( ). D’o` γ = π puisque π ∈ [− π , π ]. u 3 3 2 2 3 3 2. Le syst`me a r´soudre est ´quivalent au syst`me lin´aire d’inconnues x et y e ` e e e e 1. – On a sin( (3 x + 2 y) ln 2 = ln 5 2 x ln 4 = (2 y + 3) ln 2 qui se r´´crit : ee (2 ln 4) x + (2 ln 2) y

quelque soit l’angle d’incidence de l’onde sur la couche ionisée considérée. Réflexion suivant divers angles d’incidence de l’émission. La portée d’une onde réfléchit par l’ionosphère dépend de la fréquence. Réflexion totale quelque soit l’incidence ⇒ sin i1 ≥ n n1 La propagation des ondes dans l'ionosphère est caractérisée par une fréquence critique dépendant de la couche considérée, de l'heure, de la saison et du cycle considérée. Cette fréquence critique fc est donnée par la formule : fc ≈ q 2π

2π) = cosx. 3. sin(x+ 2π) = sinx. 4. cos(x+ π) = − cosx. 5. sin(x+ π) = − sinx. 6. cos(−x) = cosx. 7. sin(−x) = − sinx. 8. cos(π − x) = − cosx. 9. sin(π − x) = sinx. 10. cos ( x+ π 2 ) = − sin(x). 11. sin ( x+ π 2 ) = cos(x). 12. cos ( π 2 − x ) = sin(x). 13. sin ( π 2 − x ) = cos(x). Formule de duplication. 1. cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b). 2. cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b). 3. sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b). 4. sin(a− b) = sin(a) cos(b)− cos(a) sin(b). 5. cos(2x)

donn´e en coordonn´es cart´siennes par e e e e e x(t) = 2 sin(t) y(t) = cos(t) pour t ∈ [0, 2π] il suffit d’utiliser la commande Maple plot avec la syntaxe suivante > plot([2*sin(t), cos(t), t=0..2*Pi]); On rappelle que pour superposer plusieurs courbes, on dispose de la fonction display : ceci peut s’av´rer e utile lors de l’´tude des branches infinies (pour tracer une asymptote, par exemple). e 2.1 Pour commencer x(t) = cos(λt) y(t) = sin(µt) pour diff´rentes valeurs de λ et µ e x(t) = t − t3