Sîn

+ 2i)(1 + i) Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i) Exercice 3 (3 pts) Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i) 1-i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6) Exercice 4 (3 pts) a. Calculer le module et un argument de z = ( 3 - i)10 . b. En déduire sa forme algébrique. Exercice 5 (4 pts) Dans un repère (O ; u , v ) orthonormé positif du plan, A, B et C sont les points d’affixes respectives

Pour tout nombre réel t, on a |eit | = 1. 23.1.1 Les fonctions cosinus et sinus et le nombre π On définit les fonctions cosinus et sinus par : ∀t ∈ R, cos (t) = eit et sin (t) = eit . Théorème 23.4 Les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables sur R avec : ∀t ∈ R, cos (t) = − sin (t) et sin (t) = cos (t) . Lemme 23.2 L’ensemble E = {t ∈ ]0, 2[ | cos (t) = 0} est non vide et admet une borne inférieure t0 ∈ ]1, 2[ . On peut maintenant définir le nombre π par π = 2t0 . Théorème

mesure la distance [BD] a l’aide de la roulette. IV) Rappel Théorique : Lecture moyenne Lmoy = (LCG + (+ ou – 200 LCD))/2 Angle de droite αd = Lar – Lav Longueur des cotés d’un triangle a/sin(Â) = b/sin(B) = c/sin(C) Surface d’un angle S=1/2.b.c.sin(A) S=1/2.a.c.sin (B) S=1/2.a.b.sin(C) V) Résultat expérimentaux : Station Points

∂f     ∂z < u r , u ϕ , u z > (31) 2.4 Gradient en coordonnées sphériques Le gradient d'une fonction donnée en coordonnées sphériques f(r, θ, ϕ) s'exprime ainsi : ∂f     ∂r     1 ∂f   ⋅ ∇f =   r ∂θ    1 ∂f     r ⋅ sin(θ) ⋅ ∂ϕ   < u r , u θ , u ϕ > (32) HE-Arc, ingénierie 7 Analyse vectorielle – gradient, rotationnel et divergence 2.5 Exemple de gradient pour une fonction de deux variables f ( x , y) = x 2 + y 2  2x  ∇⋅f =    2y    La Figure

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b → → → Dans un repère orthonormé (O, i , j ), considérons deux vecteurs u et v unitaires, tels que : → → j 1. Démontrer que ( u , v ) = b – a. (On pourra utiliser la relation de Chasles) En déduire que : u . v = cos(a – b). 2. Préciser les coordonnées de u et v (en fonction de a et b). En déduire que : u . v = cos a cos b + sin a sin b. 3. En déduire que pour tous réels a et b, on a : cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Application immédiate :

= 2 sin . x x x ! # ! " $0 ; ! # donc sin " 0 et f’(x)≥0. $ x x f est donc croissante sur [1 ; +∞[ et (un) est une suite croissante. Or pour tout x de [1 ; +∞[ , 1.2.2. Technique algébrique. On utilise la définition et l’on démontre en manipulant des inégalités que un+1 – un ≥ 0. Une variante est de s’assurer que un est de signe constant et non nul pour tout n puis de comparer Exemple : un = 2n + sin n . un+1 un avec 1. un+1 ! un = 2(n + 1) + sin(n + 1) ! 2n ! sin n = 2 + sin(n + 1)

réel et M le point qui lui est associé. J + M sin x x O On appelle cosinus de x et sinus de x les coordonnées de M dans le repère (O ; OI, OJ). cos x On a ainsi : M (cos x ; sin x). À savoir Réel x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 π 4 3 2 1 2 2 2 π 3 1 2 2 2 3 2 Propriété Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a : t
−1 ≤ cosx ≤ 1 et −1 ≤ sinx ≤ 1  ; t
cos2x + sin2x = 1 ; cos( x + k × 2π ) = cos x . t
 sin( x + k × 2π ) = sin x 4 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 – MA02

−→ ® On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que θ = (− , OM )[ 2π], u ® On note θ = arg(z), ® θ vérifie :   cos θ    sin θ   = = a √ , 2 + b2 a b √ . a2 + b2 Exemple 7 Calcul d’un argument de nombres complexes :  2   cos θ = √ 2 = √  2 2 22 + 22   z1 = 2 + 2i :  2  sin θ = √ 2  = √ 2 + 22 2 2 2 √   z2 = 1 + i 3 :   cos θ       sin θ    = = 1 √ 2 12√ 3 + 3 √ 2 12 + 3 √ 2 2 √ 2 = 2 = 1 2 √ 3 = 2 = ⇒θ= π 4 ⇒ arg(2 + 2i) = π . 4 1 = √ 4 2 = √

a 1 1 Or, lorsque h tend vers 0, √ √ tend vers √ 2 a a+h+ a 1 f est donc dérivable en a et f ′ (a) = √ 2 a Fonctions trigonométriques Propriété Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin′ (x) = cos(x) et cos′ (x) = − sin(x) Résultat admis. c) Opérations sur les fonctions et dérivées u et v désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle I et λ un réel. Propriété La fonction u + v est dérivable sur I et La fonction λu est dérivable sur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auto-oscillation dissymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Exemple : cas d’un relais symétrique avec une entrée x0 + x1 sin ωt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Exemple : cas d’un relais à hystérésis dissymétrique . . 2.6.4 Principe de détermination des auto-oscillations . . . . 2.6.5 Exemple d’un asservissement à relais avec perturbation lente . . . .