FORMULAIRE RELATIF AUX OPÉRATEURS r r
Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels.
1. Formules portant sur un seul champ: r r r2 1. ∇.(∇ U) = ∇ U r r r 2. ∇ ∧ (∇U) = 0 r r r r
3. ∇ . ( ∇ ∧ a ) = 0 r r r r r r r 2r
4. ∇ ∧ (∇ ∧ a ) = ∇( ∇. a ) − ∇ a

→ soit div(grad U) = ∆U
→ → r soit rot (grad U) = 0
→r r soit div( rot a ) = 0
→ →r
→
r r soit rot (rot a ) = grad(div a ) − ∆ a

2. Formules portant sur deux champs: r r r 5. ∇ (UV) = V ∇ (U) + U ∇ (V) r r r r r r
6. ∇. (U a) = a (∇U) + U ( ∇. a ) r r r r r r
7. ∇ ∧ (U a ) = ( ∇U) ∧ a + U (∇ ∧ a) r r r r r r r r r
8. ∇. ( a ∧ b) = b. ( ∇ ∧ a ) − a. (∇ ∧ b)

→
→
→ soit grad(UV) = V grad U + U grad V
→
r r r soit div(U a ) = grad U. a + U div a
→ r
→
→ r r soit rot (U a ) = grad U ∧ a + U rot a r →r r →r r r soit div( a ∧ b) = b. rot a − a . rot b

r r r r rr r r r r rr r r r
9. ∇ ∧ ( a ∧ b) = ( ∇. b) a − ( ∇. a ) b + ( b.∇ ) a − ( a.∇ ) b
→ r r r r r → r r → r r r soit rot ( a ∧ b) = (div b) a − (div a ) b + ( b. grad ) a − ( a. grad) b r rr r r r r r r r r rr r r 10. ∇ ( a . b) = a ∧ (∇ ∧ b) + b ∧ (∇ ∧ a ) + ( b.∇ ) a + ( a.∇ ) b
→ rr
→r
→r r r → r r → r r soit grad( a . b) = a ∧ (rot b) + b ∧ ( rot a) + ( b. grad ) a + ( a. grad) b
3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées:
a. Gradient:
→
 ∂ U r  ∂ U r
 ∂ U r
* cartésiennes: grad U = 
 ex + 
 ey + 
 ez
 ∂x
 ∂y
 ∂z 

→
 ∂ U r 1  ∂ U r
 ∂ U r
* cylindriques: grad U = 
 er + 
 eθ + 
 ez r ∂θ
 ∂r 
 ∂z 
→
 ∂U  r 1  ∂ U r
1  ∂ U r
* sphériques: grad U = 
 er + 
 eθ +

 eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ 
∂r
b. Divergence:

r  ∂a   ∂ a   ∂ a 
* cartésiennes: div a =  x  +  y  +  z 
 ∂x   ∂ y   ∂z  r 1  ∂ r ar 1  ∂ aθ   ∂ az 
* cylindriques: div a = 
+ 
 +

r  ∂ r  r  ∂θ   ∂ z 

r 1  ∂ r 2 ar 
1  ∂ a θ sin θ 
1  ∂ aϕ 
* sphériques: div a =

 +
+





∂ θ  r sin θ  ∂ ϕ  r 2  ∂ r  r sin θ 

c. Rotationnel:

→ r  ∂a
∂ ay  r  ∂ ax