Sîn

formule : n1.sin i1 = n2.sin i2, calculer l’angle de réfraction (arrondir au degré) et tracer le rayon réfracté. n1.sin 30 = n2.sin i2 avec n1 = 1 (air) et n2 = 1,5 Donc : sin i2 = (1 x sin30)/1,5 = 0,333 donc i2 = sin-1(30) = 19,5 ° 2/. Le milieu 1 est de l’air d’indice n1 = 1. L’angle i1 = 32°. L’angle i2 = 25°. A l’aide de la formule : n1.sin i1 = n2.sin i2, trouver l’indice n2 du milieu 2. Arrondir n2 à 0.01 près. n1.sin i1 = n2.sin i2 donc: 1 x sin 32 = n2 x sin 25 n2 = sin 32/sin25 = 1

l'abscisse de M ; sin(x) = OM , l'ordonnée de M . Remarques 1.8 1. Si on choisit un autre nombre x, les nombres sin(x) et cos(x) changent : à chaque nombre x correspond un et un seul nombre sin(x), et un et un seul nombre cos(x). Ainsi, sinus et cosinus sont des fonctions/applications : sin : R → [−1; 1] cos : R → [−1; 1] x → sin(x) = OM x → cos(x) = OM 2. Moyen mnémotechnique 3. Dans le RON direct, le point M a donc les coordonnées M (cos(x), sin(x)). 4. sin(x + k · 2π) = sin(x) et cos(x + k ·

Trouver 6, n, sin 8; = nz sin 6, 1,36 sin 37° = 1,92 sin 6, 7. 1,36 sin 37° sin 6, = 192 ; 1,36 sin 37° 6, = sin: +(—————_ 1,92 6, = 25,23° 45° Un chat regarde un mini requin dans un aquarium. L’angle réfracté est de 40°. Une plante se situe a 0,2 m du bord droit de L’aquarium. Quelle est la hauteur de 1’ aquarium? n=1 ny = 1,33 0; =? 6, = 40° 1. Trouver 0; n, sin; = nz sin 6, 1sin 0; = 1,33 sin 40° 1,33 sin 40° 6; = sin 0; fl 6; = sin~+(1,33 sin 40°) 0; = 58,75°

recherche de primitive sera très compliquée… 6 Ex5 : On veut une primitive de : g(x) = sin(x) e cos(x) Il suffit d'utiliser la ligne 3 du tableau des primitives en prenant u(x) = cos(x) Calculons u ' dans ce cas : u '(x) = - sin(x) donc g = - u ' ₓ eu donc G(x) = - eu(x) = -ecos(x) Ex6 : On veut une primitive de : g(x) = sin(x) ex Ici il est impossible d'utiliser le tableau des primitives précédent. En effet sin(x) ne resemble ni de près, ni de loin, à la dérivée de x… Quelle leçon faut-il tirer

tel que  0,  et 12 cos 13  = − . Calculer sin , tan , cot et ( ) 7 2cos sin 17 2 A     = − − − −    IV) Soit  l’arc tel que 3 , 2        et 23sin 1 0− = . Calculer sin , cos , tan et 13 cot 2   −    . V) Soit  l’arc tel que 3 , 2 2        et tan 2 = . Calculer sin , cos et ( )cot 145  − . VI) Réduire les expressions suivantes : 1) ( ) 3 sin cos 13 2 A   = − −  −    .

local. (2) Le corollaire donne une condition suffisante d’existence d’un extremum local, mais cette condition n’est pas n´ecessaire : la fonction f d´efinie par f (0) = 0 et f (x) = x2 (1 + sin(1/x)) est d´erivable sur R et `a valeurs ≥ 0, donc admet en c = 0 un miminimum local. Mais pour x = 0, f (x) = 2x(1+sin(1/x))−cos(1/x) prend des valeurs > 0 et < 0 dans chaque intervalle ]−δ, 0[ ou ]0, δ[, pour tout δ > 0. y y=x Π 2 y = arctan x 1 O 1 x Π 2 y = tan x Fig. 1. Interpr´etation graphique

8  (G  2  >  ­*a d^ —­  Vg  <9 ­ ft  (  °  G  2  )  ÔGL = QA + AGI =  r £ cos ip 1 r — £ cos 0  n  = £ s in i(; o j Rg + L ­r­ £ sin °  .  0 A  Rg  j— £ cos ^ + — £ cos 0  _  OG  9  = £ sin ^ + — sin 0  ­ ° J  R g  d'où : ­ £ sin i|4' ­ — i  sin 60'  n  V  8  (G  2  ) = «, cos W' + ­| cos 66'  0 J Rg  D'où la puissance réelle :  0 ~j ­ l sin W ' ­ ­| sin 66 ' ~ /^7)  8  = ­ mg £ cos r|) i|» ' + ­ cos 6 6 '  L °J . °  ^^/  ë 2 = ­ mg£ r cos W + cos 0 —  6  f  "i *­x *" ­I  Puisque i)j 

contenant u(I). Démontrer que la fonction v o u est dérivable sur I et pour tout x Î I : (v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x)) Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue Considérons la fonction ¦ définie sur  par : æ1ö ¦(x) = x 2 sin ç ÷ si x ¹ 0 et ¦(0) = 0 è xø Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans

goniométrique est l’abscisse du point représentatif de l’angle sur le cercle goniométrique, on le note : cos ( . Le sinus d’un angle ( sur le cercle goniométrique est l’ordonnée du point représentatif de l’angle sur le cercle goniométrique, on le note sin ( . La tangente d’un angle ( est le rapport entre le sinus et le cosinus de l’angle, on la note tan ( (ancienne notation : tg ( ). La cotangente d’un angle ( est le rapport entre le cosinus et le sinus de l’angle on la note cotan ( . (ancienne notation

suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z. Démonstration : On note M le point d’affixe z, r = OM et θ = ( ~u ; −−→OM ) [2π]. La demi-droite [OM) coupe le cercle trigonométrique en un point A (voir figure 4). Les coordonnées de A sont (cos (θ) ; sin (θ)) et, comme −−→OM = r −→ OA, les coordonnées de M sont (r cos (θ) ; r sin (θ)). L’affixe de M est donc : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) Figure 4 – Forme trigonométrique