Sîn

décharge d'hydrogène. • Fichier Excel : NYC-L1P6-6 Prédictions: nf = {sin [(δmin +Ф) / 2]} / sin (Ф/2) nf * sin (Ф/2) = sin ((δmin+Ф)/2) {Arcsin [nf*sin (Ф/2)]}*2-Ф= δmin f Arcsin {1.630 *sin (60/2)}*2-60 =49.175 ˚ δminD = {arcsin [nD*sin (Ф/2)]}*2-Ф ={arcsin[1.620*sin(60/2)]}*2-60=48.192˚ δminC= {arcsin [nC*sin (Ф/2)]}*2- Ф ={arcsin[1.613*sin(60/2)]}*2-60=47.511˚ N1sinIf=nfsin30˚ 1*sinIf=1.630*sin30˚ SinIf=0

(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) Quelques valeurs : √ cos π = 23 cos 6 π 1 sin 6 = 2 sin √ eiθ + e−iθ 2 sin(θ) = eiθ − e−iθ 2i π 4 π 4 = = 2 2 √ 2 2 cos sin π 3 π 3 1 =√ 2 = 23 Formules élémentaires : Soit t ∈ R, cos(−t) = cos(t) cos(π − t) = − cos(t) cos(π + t) = − cos(t) cos π − t = sin(t) 2 sin(−t) = − sin(t) sin(π − t) = sin(t) sin(π + t) = − sin(t) sin π − t = cos(t) 2 Formules d’addition : Soient a, b ∈ R, cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a −

+ nπ ) = (−1) cos α sin(α + nπ ) = (−1) n sin α n π  cos − α  = sin α 2  π  sin  − α  = cos α 2  cos(a + b) = cosa cosb − sin a sin b sin(a + b) = sin a cosb + sinb cosa cos2 a + sin2 a = 1 Toutes les autres formules se retrouvent à partir des formules ci-dessus. cos(2a) = cos a − sin a sin(2a) = 2 sin a cosa cos p + cos q = 2 cos p+q p−q cos 2 2 p+q p−q sin p + sin q = 2 sin cos 2 2 2 2 cos(a − b) = cosa cosb + sin a sinb sin(a − b) = sin a cosb − sinb cosa

P Q; Q(3; 1; 5) 3y 2 z; b) Dans quelle direction cette dérivée est-elle maximum? Exercice 5 Trouver la dérivée directionnelle du champ: f (x; y; z) = x2 yz 3 ; en P(1,2,-1) dans la direction de la courbe paramétrée de l’espace: C: x = e t ; y = 2 sin t + 1; z = t cos t : cela signi…e que l’on calcule ! ! Gradf .! v ; où Gradf est calculé en P de la courbe C, P(t=0), et ! v vecteur unitaire dirigeant la tangente à C en P. 0.3 Intégrales curvilignes R Exercice 6 Calculer l’intégrale curviligne:I

(b− a) sin(a)− ∫ b a (b− t) cos(t)dt. Or, pour tout t ∈ [a, b], on a |(b− t) cos(t)| = |b− t| × | cos(t)|︸ ︷︷ ︸ ⩽1 ⩽ |b− t| = b− t, donc par inégalité triangulaire et croissance de l’intégrale, on peut écrire∣∣∣∣∣ ∫ b a (b− t) cos(t)dt ∣∣∣∣∣ ⩽ ∫ b a |(b− t) cos(t)| dt ⩽ ∫ b a b− tdt = [ −1 2 (b− t)2 ]b a = 1 2 (b− a)2. Il s’ensuit | cos(b)− cos(a) + (b− a) sin(a)| = ∣∣∣∣∣ ∫ b a (b− t) cos(t)dt ∣∣∣∣∣ ⩽ 1 2 (b− a)2. 3. Soit x0 ∈ R. On montre que lim x→x0 U(x)− U(x0) x− x0 = − ∫ 1 0 u(t)t sin(x0t)dt

xα ⋅ α x = α.xα-1. 1.2.6 (sin x ) ′ = cos x Ecrivons la définition de la dérivée : x − x0 x + x0 2 sin cos sin x − sin x0 2 2 (sin x )′ = lim = lim x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 x − x0 sin 2 lim cos x + x0 = 1 cos 2 x0 = cos x (sin x )′ = lim 0 x → x0 x − x0 x → x 0 2 2 2 eix − e −ix Vous pouvez aussi utiliser la formule d’Euler : sin x = et dériver cette expression sachant que 2i ieix − (−ie −ix ) eix + e −ix ax ax (e )' = ae on obtient : (sin x)' = = = cos x . 2i 2 On peut objecter

et applications 2. Équations du second ordre (STI2D/STL SPCL) 1. Équations du premier ordre Activité. Somme de deux solutions d’une équation différentielle linéaire Activité. Solutions d’une équation différentielle 1. g(x) = cos 2x, g’(x) = – 2 sin 2x, g”(x) = – 4 cos 2x. On a alors g”(x) + 4g(x) = – 4 cos 2x + 4 cos 2x = 0. La fonction est solution. 2. Même calcul avec h. 3. k”(x) = g”(x) + h”(x). Donc k”(x) + 4k(x) = g”(x) + h”(x) + 4g(x) + 4h(x) = 0. k est solution de (E). 4. Calcul identique

0: y = -P Pour T1 :: x = T1*cos α: y = T1*sin αPour T2 :: x = -T2*cos α : y = T2*sin α Donc on obtient les relations :Sur x : T1*cos α – T2*cos α = 0 Sur y : - P + T1*sin α + T2*sin α = 0 Selon : x, on obtient : T1*cos α = T2*cos α Donc T1 = T2 La norme des tensions est la même. Valeur de la tension T = T1 = T2Si T = T1 = T2, alors selon : y :-P + T1.sin a + T2.sin a = 0 devient :T.sin a + T.sin a = P 2T.sin a = P 2T = P / sin a T = P / 2.sin a Etant donné que nous n'avons considéré qu'un

et O0 y d´finis par la figure. On a ex ey e − = sin i − − cos i − → → → u0 ex ey → − = sin r − + cos r − → → u ex ey −− −→ − − − → −− −→ → → → O0 M = O0 Ok + Ok M = k (a − − h − ) + ξ − ex ey ex d’o` u ∆ = k [a (sin i − sin r) − h (cos i + cos r)] + ξ (sin i − sin r) Pour all´ger la r´daction de la suite, posons e e δ = a (sin i − sin r) − h (cos i + cos r) Le d´phasage entre les deux rayons est donc e ϕ = 2π ∆ kδ + αξ = 2π λ λ et α = (sin i − sin r) Question 3 : Retrouver la factorisation de

du point P est le sinus du r´eel x ; on le note sin x. A partir de cette d´efinition, on d´eduit que cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ (k ∈ Z) sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z). sin x π On d´efinit aussi la tangente de x, not´ee tg x, par le rapport , x∈R\ + kπ : k ∈ Z cos x 2 et cos x la cotangente de x, not´ee cotg x, par le rapport , x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}. sin x et que 16 ´ CHAPITRE 2. TRIGONOMETRIE 17 B. Repr´ esentations g´ eom´ etriques Y ✻ 1 Y ✻ 1 P sin x cos x x ✲ 1 X Y ✻ 1 cotg x P tg x ✲ 1 X C