Forme trigonométrique d’un nombre complexe – Applications
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2019/2020
Table des matières
1 Représentation géométrique d’un nombre complexe 2
1.1 Rappels : affixe d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Forme trigonométrique 3
2.1 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Forme trigonométrique d’un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Égalité de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …afficher plus de contenu…

Démonstration :
On note M le point d’affixe z, r = OM et θ =
(
~u ; −−→OM
)
[2π].
La demi-droite [OM) coupe le cercle trigonométrique en un point A (voir figure 4).
Les coordonnées de A sont (cos (θ) ; sin (θ)) et, comme −−→OM = r
−→
OA, les coordonnées de M sont
(r cos (θ) ; r sin (θ)).
L’affixe de M est donc : z = r (cos (θ) + i sin (θ))
Figure 4 – Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Exercice : 22 page 244 4 [TransMath]
Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique : Soit z un complexe non nul de forme al- gébrique z = a+ ib et de forme trigonométrique z = r (cos θ + i sin θ). Alors :
— Si l’on connaît r et θ : { a = r cos θ b = r sin θ
— Si l’on connaît a et b : r = |z| =
√
a2 + b2 et
{
cos θ = a r sin θ = b r Exemple : Soit z =
√
3− i.
r …afficher plus de contenu…

10Représentation géométrique d'un nombre complexeRappels : affixe d'un pointAffixe d'un vecteurForme trigonométriqueArgument d'un nombre complexe non nulForme trigonométrique d'un complexe non nulÉgalité de deux nombres complexesCas d'un produit ou d'un quotientForme exponentielleApplications géométriques des nombres complexesDistances et angles orientésCaractérisation des cercles et des médiatricesPour aller plus