Sîn

MASENELLI-VARLOT chemin minimal ==> dLAB = 0 n .h . sin(i ).di n .h . sin(i ).di dLAB = 1 1 2 1 1 + 2 2 2 2 2 cos (i1) cos (i2) mais : i1 et i2 tan(i1) = sont liés (position de I) H1I HI ; tan(i2) = 2 h1 h2 A h1 H1 i1 I K’ K H2 i2 h2 B n2 n1 avec : H1I + IH2 = H1H2 = cte d (H1H2 ) = 0 (1) et (2) ==> h1.di1 h .di + 22 2 =0 cos2(i1) cos (i2) n1.h1. sin(i1).di1 n2.h1. sin(i2).di1 − =0 cos2(i1) cos2(i1) D’où n1.sin(i1) = n2.sin(i2) Loi de SNELL-DESCARTES 15 Cours de physique

0 . Ainsi Z Z f 0 gdt = f g f g 0 dt + C Exercice de cours 69. En utilisant la formule d’intégration par parties ci-dessus, calculer : • une primitive de xex • une primitive de ln x (on utilisera le fait que ln(x) = 1 ⇥ ln(x)) • une primitive de x sin x • une primitive de xn ln x • une primitive de ln(x2 + 1) Exercice de cours 70 (Intégrale de Wallis). Le but de cet exercice est de calculer l’intégrale : Z ⇡ 2 cosn xdx avec n 2 N 0 a) Trouvez une relation entre In+2 et In . b) Calculez I0 et I1

l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x ) • l'ordonnée du point M est le sinus de x ( noté sin x ) propriétés : Pour tout réel x et tout entier relatif k , – 1 < cos x < 1 et sin(x + k × 2π) = sin x Valeurs remarquables x (en degrés) x (en radians) cos x – 1 < sin x < 1 cos² x + sin² x = 1 et cos(x + k × 2π) = cos x 0 0 30 π 6 3 2 1 2 45 π 4 2 2 2 2 60 π 3 1 2 3 2 90 π 2 0 180 π 1 –1 sin x 0 1 0 Cosinus et sinus d’un angle orienté de vecteurs Soit  et  deux vecteurs du

orthoyM = sin x) normé; x A – un réel x qui définit l’arc xM 1 O AM, d’origine A et d’extrémité M, et, en radian, l’angle au centre associé à cet arc. • Fonction cosinus La fonction cosinus: x cos x est définie sur . L’image de x, cos x, est l’abscisse xM du point M. Pour toute valeur de x, – 1 cos x 1. • Fonction sinus La fonction sinus: x sin x est définie sur . L’image de x, sin x, est l’ordonnée yM du point M. Pour toute valeur de x, – 1 sin x 1. Méthode ■ Signes de cos x et sin x sur l’intervalle

Eksassôte ! Ah oui ! un bon conseil également. Apprenez les formules trigonométriques situées en fin de ce chapitre . 2– Réciproque des fonctions trigonométriques a) arcsin : sin : [– π, π] → [–1,1] est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée 2 2 arcsin. On a donc : θ = arcsin(x) ⇔ θ ∈ [– π, π] et x = sin(θ) 2 2 (On fera un rapprochement dans la formulation avec l'équivalence : y = x ⇔ y ≥ 0 et x = y2) ¤ -6- Voici un tableau de valeurs : x –1 3 2 – – 2 2 arcsin(x) –π

L'axe des x s'étend de -3 à 3 et celui des y de -1,5 à 1,5. La courbe obtenue est la suivante Commande :gnuplot> plot [-3*pi:3*pi] [-1.5:1.5] sin(x) nous avons tracer 3 courbes silmutanéments grace à la commande plot. Voici les 3 fonctions :  f  x=2 x4  g x =x 2 2 x1  h x =2 x sin  x /2 Commande :gnuplot> plot 2*x+4,x*x+1,2*x*sin(pi*x/2) on peut modifier certains paramètres de tracés (utiliser des points au lieu de ligne, changer la couleur, la légende de la

V3/2, 1/2 Π/4 : V2/2, V2/2 Π/3 : 1/2, V3/2 Π/2 : 0, 1 cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b sin(a-b) = sin a cos b - sin b cos a sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a cos(2a) = cos^2 a -sin^2 a sin(2a) = 2sin a cos a cos^2 a = (1 + cos(2a))/2 sin^2 a = (1 - cos(2a))/2 cos x = cos y : y = x ou y = -x sin x = sin y : y = x ou y = Π – x x = r cos O et y = r sin O cos O = x / r et sin O = y / r r = Vx^2+Vy^2 f(a+h)−f(a) / h f(x)−f(a) / x-a y=f′(a)(x−a)+f(a)

circulation du vecteur V = e x−y x+y le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1. Le cercle C sera param´tris´ par : e e   x = cos t y = sin t γ(t) :  t ∈ [0, 2π] Par d´finition, on pose e 2π I V · γ (t) dt = = C 2π I = 0 0 cos t − sin t (− sin t) + cos t − sin t cos t dt 1 − 2 sin t cos t dt = 2π 49 ´ CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES 50 6.1.2 Th´or`me : Travail d’un champ de gradient e e Soit f : R3 → R une fonction diff´rentiable

un = ( 1 + sin ( nπ 2 )) 1 n . (0,75 pt) 2 étudier la nature de la suite (un) dans les cas suivants : a un = 1√ n E( √ n), (0,75 pt) b un = an − (−a)n où a ∈ R. (0,75 pt) Correction 1 Calculons les limites sup et les limites inf des suites suivantes : a un = (−n)−n = (−1)−n×n−n = (−1)n× 1 nn . La suite de terme général (−1)n est bornée et lim n→+∞ 1 nn = 0, donc la suite ((−n)−n) est convergente et sa limite est égale à 0. On a alors, lim (−n)−n = lim (−n)−n = 0. b Soit un = ( 1 + sin ( nπ 2 )) 1

r´elle. Lorsque cette condition est satisfaite, r´soudre l’´quation. e e e 15. 16. Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ. a) Montrer qu’il existe des constantes A et B (que l’on d´terminera) telles que e cos3 θ = A cos 3θ + B cos θ . b) Montrer qu’il existe des constantes A, B et C (que l’on d´terminera) telles que e sin4 θ = A cos 4θ + B cos 2θ + C . 17. Pour θ = mπ avec m ∈ Z, montrer que sin(2p + 1)θ =1+2 sin θ Que se passe-t-il pour θ = 0? p cos 2kθ . k=1 2 Corrig´ e √ 2 1. On a z1 =