Sîn

cette condition est satisfaite, r´soudre l’´quation. e e e 15. Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ. 16. a) Montrer qu’il existe des constantes A et B (que l’on d´terminera) telles que e cos3 θ = A cos 3θ + B cos θ . b) Montrer qu’il existe des constantes A, B et C (que l’on d´terminera) telles que e sin4 θ = A cos 4θ + B cos 2θ + C . 17. Pour θ = mπ avec m ∈ Z, montrer que sin(2p + 1)θ =1+2 sin θ Que se passe-t-il pour θ = 0? 2 p cos 2kθ . k=1 Corrig´ e

faite pour la fonction e- t montre que e- t a une intégrale convergente sur [1 , +&[ et aussi sur tout intervalle [a , +&[ . Exemple π 1 ] et la divergence de l'intégrale de 2 t π 1 sur ]0 , ]. fournit la divergence de l'intégrale de 2 sin t Les inégalités 0 < sin t ≤ t sur ]0 , sur ]0 , π ] 2 Exemple Les inégalités 0 ≤ montrent que sin2 t sin2 t t2 t2 ≤ 1 t2 , avec les résultats vus sur les intégrales de Riemann, a une intégrale convergente sur [1 , +&[ ; il en est de même sur [0 , +&[

Calculer la distance A(t)B(t). Exercice 11 [ 03112 ] [correction] [Cycloïde] Etudier la courbe paramétrée définie par x = t − sin t y = 1 − cos t Courbes en coordonnées cartésiennes Exercice 5 [ 00579 ] [correction] Etudier la courbe paramétrée définie par x = cos 3t y = sin 2t Exercice 6 [ 00580 ] [correction] Etudier la courbe paramétrée définie par x(t) = 2 cos 2t y(t) = sin 3t [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Exercice 12 [ 00586 ] [correction] [Tractrice] a) Etudier la courbe définie par x

- Intégrales multiples : corrigé 2. On a : x 1 x + ydydx f (x, y)dxdy = D x2 0 y2 xy + 2 1 = 0 3 = . 20 3. On déduit de la définition de D l’inégalité 0 ≤ y ≤ π 2x , π 2x 2 f (x, y)dxdy = D 1 x x2 et on obtient : cos(xy)dydx 0 2 1 sin(xy) x 1 2 1 = dx 1 x = ln(2). = π 2x dx 0 4. Le domaine s’écrit 1−x . 1+x Puisqu’il est nécessaire que 1 − x ≥ 0, on a forcément x ≤ 1. On en déduit : x ≥ 0, y ≥ 0, y(1 + x) ≤ 1 − x =⇒ y ≤ 1−x 1+x 1 f (x, y)dxdy = D 0 0 1 1 2 = x 0 xydydx

le débit maximal (en bits par seconde) de cette fibre optique. Eléments de correction 1. 2. c0/nC ≈ 300 000/1,48 ≈ 203 000 km/s C’est nécessaire pour qu’il n’y ait pas de perte énergétique du faisceau lumineux. i’ > i’C (angle critique) avec : sin i’C = ng/nC A.N. i’ > 80,6° 1. Le cœur a un indice de réfraction nC = 1,48. Calculer la vitesse de la lumière dans le cœur. 2. Pour que la lumière puisse se propager correctement dans la fibre optique, il faut avoir réflexion totale en I. Pourquoi

l'abscisse de M ; sin(x) = OM , l'ordonnée de M . Remarques 1.8 1. Si on choisit un autre nombre x, les nombres sin(x) et cos(x) changent : à chaque nombre x correspond un et un seul nombre sin(x), et un et un seul nombre cos(x). Ainsi, sinus et cosinus sont des fonctions/applications : sin : R → [−1; 1] cos : R → [−1; 1] x → sin(x) = OM x → cos(x) = OM 2. Moyen mnémotechnique 3. Dans le RON direct, le point M a donc les coordonnées M (cos(x), sin(x)). 4. sin(x + k · 2π) = sin(x) et cos(x + k ·

DE PRIMITIVES 1) (x2 − x) sin x 2) (x3 − 2x + 1)e−x 3) e5x cos 7x 4) √ 5) x2 8x3 + 1 6) (x − 1)2 x2 + 4 7) x (x + 1)2 8) x3 x4 − 1 9) 3x8 + 6x5 + 6x2 (x3 + 1)7 10) x3 − x + 5 (x + 1)7 (x2 + x + 1) 11) 3x3 − 4x2 + 2x (x3 − 2x2 + 2x − 1)2 12) 13) arctan 15) x sin (x3 √ x 1 + 1)2 14) ln(1 + x2 ) x2 tan5 x 16) cos4 x sin x 17) cos 2x sin x + sin 3x 18) sin2 x cos3 2x 19)

avec un angle θ par rapport à l’horizontale sont données par : x = vp · cos(θ) · t g · t2 2 En posant y=0 et en isolant le temps de l’équation 5, la distance d parcourue par le projectile est égale à : y = vp · sin(θ) · t − d= vp2 sin(2θ) g (4) (5) (6) Cette distance est maximale pour sin(2θ) = 1 soit pour θ = pi/4 ou 45° : d= vp2 g (7) 3 En substituant la valeur de vp2 de l’équation 7 par une expression provenant de l’équation 3 on obtient : d= · 2 · mcw · ∆h 2 · mcw · ∆h ⇒ = 1 ⇒ dmax

dans les doublets sont :  I 2  j.I 0 .e jt  1 La fonction caractéristique d’un doublet étant sin, le champ rayonné par chaque doublet est :  Explication : E1  Avec : E0  E1  E0 . sin  .e jt  E 2   j.E0 . cos .e jt  R R jI l sin   j 2  jt jI1 l sin   j 2  .e  0 .e e  E0 . sin  .e jt , 2 cR 2 cR R  j 2 jl  .e 2 cR De même, E2  jI 2 l sin(  ) R R R 2 2 .e  j 2   j I 0 l  cos  .e  j 2  e jt  I 0 l cos .e  j 2  e jt   jE

dépendent des conditions initiales : À t = 0, v⃗ (&#119905; = 0) = v0⃗⃗⃗⃗ avec v0⃗⃗⃗⃗ { v0x = v0. cos (α ) v0y = v0. sin (α ) Donc en égalant les coordonnées des deux vecteurs v⃗ (&#119905; = 0) et v0⃗⃗⃗⃗ , Il vient : C1 = v0. cos (α ) C2 = v0. sin (α ) Finalement : v⃗ { vx(t) = v0. cos ( α ) vy(t) = −g. t + v0. sin ( α) • Accès aux coordonnées du vecteur position : (équations horaires du mouvement) Comme v⃗ = dOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ dt alors les