Sîn

Définition On considère un réel x ayant pour image le point M sur le cercle trigonométrique. L’abscisse du point M est appelée cosinus de x. On la note cos(x) L’ordonnée du point M est appelée sinus de x. On la note sin(x) Propriétés Pour tout nombre réel x, on a • –1 £ cos(x) £ 1 • –1 £ sin(x) £ 1 • cos2(x) + sin2(x) = 1 Démonstrations : M étant sur le cercle trigonométrique de rayon 1, on obtient directement les deux premiers résultats par définition du cosinus et du sinus. En traçant le rayon [OM]

métriques dans un triangle 1) a) En précisant le théorème utilisé, calculer cos BAC b) En déduire sin BAC 2) Quelle est l’aire du triangle ABC ? Exercice 24 : Relations métriques dans un triangle ABCD est un parallélogramme tel que : AB = 7 AD = 3 AC = 8 −→ −− − −→ 1) a) Démontrer que AB · AD = 3 −→ −− − −→ b) En calculant AB · AD d’une autre façon, trouver cos BAD et en déduire que : √ 4 3 sin BAD = 7 2) a) Calculer l’aire du triangle BAD en précisant le théorème utilisé. b) En déduire l’aire

TRIGONOM2TRIQUES. I- Définition : cercle trigonométrique : π/2 + Sin tan π -1 Sin α α cosα 2π 1 Cos 3π 2 Rayon = 1. R=1 ⇒ α Cos α Sin α Tg α © www.e-tahero.net – Z.M.F -1 ≤ cos α ≤ 1 -1 ≤ sin α ≤ 1 - ∞ < tg α < + ∞ 0 1 0 0 π 4 2 2 2 2 π 2 π 6 3 2 1 2 π 3 0 1 0 ½ 3 2 3 1 3 3 -α Sin (- α) = - sin α cos (- α) = cos α tg (- α) = - tg α π-α sin (π - α) = sin α cos (π - α) = - cos α tg (π - α) = - tg α Portail des Etudiants d’Economie

réel quelconque. On lui associe l’unique point M du cercle tel que cos x et sin x sont les coordonnées cartésiennes de M. M (cos x, sin x) On pose cos ( i , OM ) = cos x sin ( i , OM ) = sin x Propriétés -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 cos2 x + sin2 x = 1 sin x π tan x = pour x ≠ + kπ cos x 2 k ∈Z x 0 π 4 π 3 π 2 π cos x π 6 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 0 3. Cosinus et sinus des angles

] [correction] Calculer cos π8 en observant 2 × π8 = x→0 Exercice 12 [ 01837 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) ex + e1−x = e + 1 √ b) x x Exercice 19 Simplifier √ = ( x)x 2 [ 01842 ] π 4. [correction] cos p − cos q sin p + sin q c) 22x − 3x−1/2 = 3x+1/2 − 22x−1 En déduire la valeur de tan Exercice 13 [ 01838 ] [correction] Résoudre les systèmes suivants : a) Exercice 14 Montrer [ 03438 ] 8x = 10y 2x = 5y b) ex e2y = a Exercice 20 Linéariser : 2xy = 1 [ 01843

U qui est donc un groupe. Remarque 4.1.1. Géométriquement, U correspond au cercle de centre 0 et de rayon 1. 4.2 Exponentielle complexe En général, on dit : pour tout réel θ, on note eiθ = cos θ + i sin θ ; le problème est que l’on n’a pas défini ce qu’étaient les fonctions cos et sin ! Ici on définit d’abord la fonction exponentielle et on en déduit l’existence des fonctions trigonométriques ! Définition 4.2.1. Soit(zn )n∈N une suite complexe. On dit que cette suite converge vers un complexe

et LMD-ST sem :3 A.KADI 8. Produit vectoriel de deux vecteurs Le produit vectoriel de deux vecteurs V1 et V2 de l’espace R 3 est un vecteur W → → → → → perpendiculaire à V1 et V2 → → → → → → ⎛→ →⎞ → , défini par : W = V1 ∧ V2 = V1 V2 sin ⎜V1 , V2 ⎟ n ⎝ ⎠ → → ou n : est un vecteur unitaire perpendiculaire à V1 et V2 Le produit vectoriel est nul si : Les deux vecteurs sont colinéaires ; L’un des vecteurs, est nul. → W → → V2 n → 8.1. Propriétés du produit

b) Force de frottement c) Force normale d) Résultante de la force normale et du poids du bloc e) 4,90 N Solution r r r F1 = F g = mg F g = 0,5 kg × 9,8 m/s 2 F g = 4 ,90 N f) 1,68 N Solution r r r Fr 1 = F g + F n Fr 1 = F g sin θ = mg sin θ Fr 1 = 0 ,5 kg × 9,8 m/s 2 × sin 20° Fr 1 = 1,68 N 3. 0,98 N Solution Le système est à l’équilibre, car il n’y a aucune accélération. r Fr = 0 r r Fg + T = 0 r r T = − Fg T = F g = mg T = 0,1 kg × 9,8 m/s 2 T = 0,98 N Exercices sur les forces, 1ère partie

remarquables du cos et du sin Tableau a connaˆ parfaitement : ` ıtre x cos(x) 1 sin(x) π √6 3 2 1 2 0 0 π √4 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 π 0 −1 1 0 FR S. S- H AT .M W W W SH W W FR S. AT .M W Chapitre 6: Trigonom´trie e Page 1/4 Maths premi`re S e MATHS-S.FR Aide m´moire e 2 Chapitre 6: Trigonom´trie e Angles associ´s e 2.1 cos et sin pour les angles π − x et π

• Pour n ∈ N , une intégration par parties fournit 2 π π an (f) = = t cos(nt) dt = 0 π 2 π t sin(nt) n π − 0 1 n π sin(nt) dt 0 = 2 nπ π − sin(nt) dt 0 2 cos(nt) nπ n = 0 2((−1)n − 1) . n2 π c) Puisque f est somme de sa série de Fourier sur R, on obtient pour tout réel x f(x) = a0 (f) + 2 +∞ (an (f) cos(nx) + bn (f) sin(nx)) = n=1 π + 2 +∞ n=1 π 4 2((−1)n − 1) cos(nx) = − n2 π 2 π +∞ p=0 cos((2p + 1)x) . (2p +