Sîn

1 1 2 Arc tan 1 x 2 x 2 Arc sin ou f ( x) 2 Arc sin . Or la fonction f est 3 3 d’après la question 1. d) continue et strictement décroissante sur R. Elle est donc bijective de R sur 0, . D’autre part, la fonction Arcsin étant une bijection de [-1,1] 1 1 , on en déduit que 0 . 2 Arc sin 0, , dans et Arc sin 3 3 2 2 2 L’équation (E) a donc une unique solution. x 2 Arc sin b) On raisonne par implication en prenant la tangente des deux membres de l’équation 1 2 x Arc sin . Il vient : modifiée : Arc

équations suivantes : 1) sin x = 0 2) sin x = 1 3) sin x = −1 4) cos x = 1 5) cos x = −1 8) tan x = 1. no 2 (*IT) Résoudre dans R puis dans [0, 2π] les équations suivantes : 1 1) sin x = 2 1 2) sin x = − √ 2 1 3) tan x = −1 4) tan x = √ 3 √ 3 5) cos x = 2 1 6) cos x = − √ . 2 6) cos x = 0 7) tan x = 0 no 3(**IT) Résoudre dans R puis dans I les équations suivantes : 1 , I = [0, 2π] 2 4) cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2π] 7) | cos(nx)| = 1 10) sin x = tan x, I = [0, 2π] 1) sin(2x) = 1 x = − √ , I = [0

la fonction tangente et d'en établir quelques propriétés. TS 1. Résoudre, sur ]-p ; p], l'équation : cos x = 0 En déduire toutes les solutions, sur , de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : sin x p pour x Î D où D =  \ { + kp, k Î } cos x 2 r r On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i , j ) tan x = a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer que la fonction tangente est p-périodique. c. Expliquer pourquoi

ion Démontrer le calcul de cos(a-b) | Définir les propriétés immédiates des logarithmes en base a | Démontrer la formule de la dérivée de arcsin | Trouvez les racine de la dérivée de sin x + cos 2x . | Démontrer la formule de la dérivée de arccos | Faites un tableau du type : | arctg | arccotg | définition | | | schéma | | | dérivée | | | | Démontrer la formule de la dérivée de arctg | Quelle est la formule de tg (a+b) : | Démontrer la formule de la dérivée de arccotg | Ѵ5=

trigonométrique : π/2 Sin tan + Sin α π -1 α cosα 2π 1 Cos 3π 2 Rayon = 1. R=1 ⇒ © www.e-tahero.net – Z.M.F α -α -1 ≤ cos α ≤ 1 -1 ≤ sin α ≤ 1 - ∞ < tg α < + ∞ 0 Cos α 1 Sin α 0 Tg α 0 π π π π 4 2 2 2 2 2 6 3 2 1 2 3 0 1 1 0 Sin (- α) = - sin α cos (- α) = cos α tg (- α) = - tg α Portail des Etudiants d’Economie π-α -3- 3 3 ½ 3 2 3 sin (π - α) = sin α cos (π - α) = - cos α tg (π - α) = - tg α Professeur BENMOUSSA Mathématiques Economiques sin (π + α) = - sin α cos (π +

Free Documentation License ¸ e e source disponible sur http://www.velvia.org Probl`me 1 e Partie I 1. (a) i. On cherche le d´veloppement limit´ (si il existe) de 1/t − 1/ sin t en 0 ` e e a l’ordre 4. Calculons tout d’abord l’ordre k auquel il est n´cessaire d’effectuer e le d´veloppement limit´ de sin t : e e 1 1 − t sin t = = 1 1 1 1 − = 1− t t DLk−1 t DLk−1 1 1 (1 − DLk−1 ) = DLk−1 = DAk−2 t t ϕ (0) = − 1 6 (b) D’apr`s les th´or`mes usuels, ϕ est de classe C 1 sur [−π/2, π/2] \ {0}

sort. Cela dépend-il de la valeur de l'indice n ? Correction du devoir de sciences physiques I- Rayon laser monochromatique 1. angle d'incidence = angle de réflexion = 30° 2. Relation de Snell-Descartes : nair * sin 30 = n eau * sin i2 sin i2 = 11,33 * sin 30° sin i2 = 11,33 * 12 i2 = 22,1 ° 3. L’indice de réfraction est le rapport de la célérité de la lumière dans le vide par la célérité de la lumière dans le milieu considéré. nX = c0cX Dans l’air, la célérité de la lumière est

suivantes : 2 3 sin x = 4 Exercice 2 Simplifier au maximum les expressions suivantes : 2 æp ö A(x) = cos(x + p) sin ç - x ÷ - sin (-x) è2 ø 2 cos x = 1 2 sin (2x) = cos x B(x) = tan(x + p) - tan x (pour x Î ]- p p ; [) 2 2 2æ pö C(x) = sin ç x - ÷ + sin(p – x).sin(–x) 2ø è æp ö æp ö D(x) = sin ç + x ÷ – sin ç - x ÷ è3 ø è3 ø Démontrer que pour tout x Î  : 2 3 æp ö æp ö - sin x sin ç + x ÷ ´ sin ç - x ÷ = 4 è3 ø è3 ø Généralisation : sin(a + b) sin(a - b) = sin a - sin b 2

Correction exercices 14 mars 2014 Correction : Les fonctions sinus et cosinus Rappels Exercice 1 2π 3 π 4) − 6 5π 1) − 6 π 2) 4 5) − 3) − 6) π 3 3π 4 π 8) − 3 9) − 7) − π 4 π 6 Exercice 2 1) sin x = − 1 2 ⇔ sin x = sin − π 6 √ 5π 3 ⇔ cos x = cos 2) cos x = − 2 6 π 3) cos(2x) = cos x + 4 ⇔ 6) 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 ou 1 4 cos x = ± 5π 6 − 5π 6 7π 12 π - 12 17π 24 − 19π 24 − 3π 4 π 4 5π 24 − 7π 24 1 2 on pose X = cos x avec −1 ∆ = 9 = 32 − π6 − 3π 4  2π 

disposer d’une bonne représentation pour la composition des rotations et de passage de la matrice colonne VT à [ ( θ, u ) V ] T . Hamilton a résolu ce problème en introduisant le quaternion unitaire Q : θ θ Q = cos ----- + ( αi + βj + γk ) sin ---2 2 θ θ Q = cos ----- + u sin ---2 2 (22) (23) la grandeur ρ ainsi définie (le signe = veut dire : égal à, par définition) est le module de q (on note ρ = q ). Par ailleurs, il est aisé de vérifier les relations suivantes : q + q′ = q + q ′ (ordre indifférent) qq