Sîn

note sin x. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) −1≤ cos x ≤ 1 2) −1≤ sin x ≤ 1 3) cos2 x + sin2 x = 1 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 0 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 II. Propriétés des fonctions cosinus et sinus 1) Périodicité Propriétés : 1) cos x = cos x + 2kπ( ) où k entier relatif 2) sin x = sin

N, calculer 2π 1 Intégration Calcul de primitives Exercice 1 [ 01960 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : 2 a) tet dtb) ln t dtc) t dt t t ln Exercice 2 [ 00279 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : a) cos t sin t dtb) tan t dtc) cos3 t dt Im,n = 0 cos(mt) cos(nt) dt Exercice 9 Centrale PC [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout Q ∈ R [X], 1 π Q(t) dt = −i −1 0 Q(eiθ )eiθ dθ Propriétés de l’intégrale Exercice 10 [ 01965 ] [correction]

+ 2 k π , k ∈ Z Z → → →→ M(z) r On a alors r = a2 + b2 a = r cos θ et b = r sin θ z = a + ib = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ) → v θ → Remarque : Soit M le point d'affixe x avec x ∈ IR , on a r = OM = | x | Définition O u Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : * z = r (cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+. * On dit que z = r (cos θ + i sin θ) avec θ ∈ IR et r ∈ IR+ est une forme trigonométrique de z. - Les nombres complexes

  P. Delezoide 30 Mai 2000 I 1 Nous utilisons les in´galit´s bien connues e e ∀u ∈ IR+ 0 < e−u ≤ 1 , ∀t > 0 | sin t| ≤ inf{1, t} sin t n t (1) est continue D’apr`s les th´or`mes g´n´raux, la fonction (x, t) → e−xt e e e e e sur [0, +∞[×]0, +∞[, et d’apr`s les in´galit´s (1) : e e e ∀(x, t) ∈ [0, +∞[×]0, +∞[ e−xt sin t t n ≤ inf 1 ,1 tn (2) La fonction t → inf {t−n , 1} est int´grable sur ]0, +∞[ : elle est continue, vaut e 1 sur ]0, 1], et elle est int´grable au voisinage

( ) g′ (t ) = ( −2 cost sint ) sin 2 t + 1 + cos2 t 2 sint cost 2 1 4 2 4 4 {t ) 4 3 v( 1 4 2 43 1 4 v ′ (t )43 u ′ (t ) u (t ) ( ) Schémas réalisés avec Géogébra (www.geogebra.org) 2)b) Dirichlet: la fonction f est C ∞ par morceaux (c’est-à-dire infiniment dérivable sauf en quelques points discrets), donc elle satisfait largement aux conditions de Dirichlet. g′ (t ) = −2 cost sin t + 2 sin t cost + 2 sin t cos3 t g′ (t ) = 2 cost sin t − sin 2 t + 1 + cos2 t 3 • Déjà, la

couple Hr, jL est appelé forme polaire du vecteur v. j = angle principal orienté entre les vecteurs → v b ρ ϕ a ” Si la forme polaire v = Hr, jL est donnée, on peut calculer la forme cartésienne correspondante cos HϕL ” v =ρK O sin HϕL a ” Réciproquement, si la forme cartésienne v = est donnée, on peut calculer la forme polaire correspondante b 2-Nombres_complexes.nb ρ= 6 a2 + b2 Arccos I ρ M a ϕ=: − Arccos a IρM si b ≥ 0 si b < 0 ü Module Le

interdites. e ´ Cours de Mathematiques ´ Nombres complexes, trigonometrie Partie II : Argument, exponentielle complexe II II.1 Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) D´finition e Pour tout r´el θ, on pose eiθ = cos θ + i sin θ. e Th´or`me e e L’application θ → eiθ est un morphisme surjectif du groupe (IR, +) dans le groupe (U, ×) des nombres complexes de module 1, de noyau 2πZ = {2kπ, k ∈ Z : Z Z} – ∀ θ ∈ IR, | eiθ | = 1. – ∀ (θ, ϕ) ∈ IR2 , eiθ eiϕ = ei(θ+ϕ) .

 ; sin   ou OA  cos  i  sin  j . xϵ  1  cos x  1  1  sin x  1 cos2 x  sin 2 x  1 cosx  2k   cos x   kϵ sin x  2k   sin x  3.2- Valeurs remarquables : Et à connaître par cœur… x 0  2  3 2 2  6  4  3 sin x 0 1 0 -1 0 1 2 2 2 3 2 cos x 1 0 -1 0 1 3 2 2 2 1 2 3.3- Lignes trigonométriques des angles associés : x Pour tout réel x : sin (- x) = sin x

→ cos(at) et t → sin(at). Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d’Euler. Pour tout réel θ , on a cos(θ ) = eiθ + e−iθ 2 et sin(θ ) = eiθ − e−iθ . 2i 2. E XEMPLE Traitons par exemple l’exercice 1.19. du poly d’exercices. cos3 (x) = 3 eix + e−ix 2 1 3ix e + 3eix + 3e−ix + e−3ix 8 1 = (2 cos(3x) + 6 cos(x)) 8 cos(3x) + 3 cos(x) = 4 = On en déduit qu’une primitive de t → cos3 (t) est t →− 1 3 sin(3x) − sin(x). 12 4 Je donne

y a guidage de la lumière dans la fibre par réflexion totale à l’interface cœur/gaine. D’après la quatrième loi de Descartes appliquée à cette interface : n1 sin θ = n2 sin θ avec θ l’angle de réfraction n2 θ M i r θ a θ z θ n1 n2 Condition de réflexion totale : sin θ ≥ 1 ⇔ Soit, comme θ ∈ [0, π ] : 2 n1 n2 sin θ ≥ 1 ⇔ sin θ ≥ n2 n1 Figure 1 – Fibre à saut d’indice. L’indice de coeur est noté n1 , l’indice de gaine n2 . A.N. : θL = 75, 6 ˚ 1. La lumière se propage dans la fibre