´ Epreuve des petites mines, commune, 1995 - corrig´ e c Francois Fayard, prot´g´ par la GNU Free Documentation License ¸ e e source disponible sur http://www.velvia.org

Probl`me 1 e
Partie I 1. (a) i. On cherche le d´veloppement limit´ (si il existe) de 1/t − 1/ sin t en 0 ` e e a l’ordre 4. Calculons tout d’abord l’ordre k auquel il est n´cessaire d’effectuer e le d´veloppement limit´ de sin t : e e 1 1 − t sin t = = 1 1 1 1 − = 1− t t DLk−1 t DLk−1 1 1 (1 − DLk−1 ) = DLk−1 = DAk−2 t t

ϕ (0) = −

1 6

(b) D’apr`s les th´or`mes usuels, ϕ est de classe C 1 sur [−π/2, π/2] \ {0}. D’apr`s la e e e e question pr´c´dente, ϕ est continue et d´rivable en 0. Il reste ` montrer que ϕ est e e e a continue en 0. Or : π π ∀t ∈ − , \ {0} 2 2 ϕ (t) = − 1 cos t + t2 sin2 t

e e e Donc k − 2 = 4. Il est donc n´cessaire d’effetcuer un d´veloppement limit´ de sin t ` l’ordre 6. a 1 1 sin t = t − t3 + t5 + o t6 t→0 3! 5! Donc : 1 1 1 = 1 sin t t 1 − 1 t2 + 120 t4 + o (t5 ) 6 t→0 On cherche la limite de cette expression lorsque t tend vers 0. Il est donc n´cessaire e d’en effectuer un d´veloppement limit´ ` l’ordre 0. Un raisonnement similaire a e e a ` celui de la question pr´c´dente nous montrer qu’il faut effectuer un d´veloppement e e e limit´ de sin2 t ` l’ordre 4 : e a sin t sin2 t = = = 1 t − t3 + o t3 t→0 6 1 t2 1 − t2 + o t2 t→0 6 1 t2 1 − t2 + o t2 t→0 3

2

Par division selon les puissances croissantes : 1 1 = sin t t 1 7 4 1 + t2 + t + o t5 t→0 6 360

Donc, par division selon les puissances croissantes : cos t sin2 t = = − Donc : ϕ (t) − − − −→ t→0 t=0 1 2 o 2 1 1 − 2 t + t→0 t t2 1 − 1 t2 + o (t2 ) 3 t→0

1 1 7 3 1 − =− t− t + o t4 t→0 t sin t 6 360 Donc : 7 3 1 t + o t4 ϕ (t) = − t − t→0 6 360 t=0 1 t2

1 1 − t2 + o t2 t→0 6

1 cos t + t2 sin2 t

1 = − + o (1) 6 t→0 1 = ϕ (0) 6

Comme ϕ (0) = 0, on en d´duit : e 7 3 1 t + o t4 ϕ (t) = − t − t→0 6 360 ii. Par troncature, ϕ admet un d´veloppement limit´ en 0 ` l’ordre 0 donc est e e a