Scalaire

III - C Application Du produit scalaire 1) Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Soit vec u (x;y) dans un repère orthonormal(O;vec i;vec j ) Le vecteur vec i a pour coordonnées (1;0) donc vec u .vec v = xx'+ yy' = x * 1 + 0*y = x le vecteur vec j a pour coordonnées (0;1) donc vec u. vec j = y newline Dans un repère orthonormal ( O ; vec i ; vec j ), un vecteur vec u a pour coordonnées( vec u .vec i ; vec u . vec j ) Ex : si on a vec u. vec i = 3 et

Notes de cours sur la m´thode des ´l´ments finis e ee M1 MAI Eric Blayo Janvier 2010 ii Table des mati`res e 1 Outils d’analyse fonctionnelle 1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e

Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwartz et ce

générale : d2 (i, j) = d2 (xi , xj ) = ||xi − xj ||2 =< xi − xj , xi − xj >M = (xi − xj )t M(xi − xj ). M (3) 60 65 où M est une matrice symétrique définie positive de taille p spécifiant la distance choisie, < , >M et || ||M étant le produit scalaire et la norme associés à la métrique M. Lorsque toutes les variables sont exprimées dans la même unité (ce qui est le cas dans l’exemple des cidres) et que les variances ne sont pas trop différentes (de sorte que chaque variable ait la même importance

rectiligne : 1) Définition : a. Une force est dite constante lorsque sa valeur, son sens et sa direction ne varient pas au cours du temps. b. Le travail d’une force constante F pour un déplacement rectiligne AB de son point d’application est le produit scalaire de F par AB . Il est noté : WAB( F ) = F . AB = F*AB*cos α WAB( F ) : travail exprimé en Joules (J). F : valeur de la force en Newton (N). AB : longueur du déplacement (m) α : angle entre F et AB (° ou rad) Exercices n°5,8 et 11 p103 2) Le travail

1), C(4 ; −3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1). 1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : −2x − 3y + 4z − 13 = 0. b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). −→ −→ − − c. Calculer le produit scalaire BH · CD . d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ? 2. On définit les points 1(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ? Exercices de géométrie 4 Baccalauréat S 4. Liban juin 2005 Pour chacune

un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. multiplication vecteurs Le produit deux vecteurs entre eux existe ausssi: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est généralement pas possible de diviser deux vecteurs entre eux, ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs. Si deux vecteurs ont la même direction (si ils sont "parallèles")

d’un tableau de réels, en effectuant un seul parcours du tableau. Exercice n°2:. Ecrire un algorithme qui recherche le plus grand et le plus petit élément d’un tableau d’entiers.   Exercice n°3:. Ecrire un... algorithme qui calcule le produit scalaire de deux vecteurs d'entiers U et V (de même dimension).  Exemple:  ( 3 2 -4 ) * ( 2 -3 5 ) = 3*2+2*(-3)+(-4)*5 = -20   Exercice n°4:. Ecrire un algorithme calculant la norme d’un vecteur à n composantes réelles:    Exercice n°5:. On appelle

 2ème SEQUENCE : TRAVAIL ET ENERGIE L'ESSENTIEL Le travail d'une force constante Une force ne peut travailler que si son point d'application se déplace. On définit le travail d'une force comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement :  : travail (J)  : force (N) : déplacement (m) Selon l’angle formé entre la force et le déplacement, un travail peut être moteur (positif), résistant (négatif) ou nul. Ces trois situations sont représentées ci-dessous :

la matrice A. Exemple 2 Si √ 3 °2 A= 1 7 ! et √ ! 0 5 B= 2 °1 alors √ ! 3 3 A+B = . 3 6 3 Par contre si √ °2 B0 = 8 ! alors A + B0 n’est pas définie. Définition 4. Produit d’une matrice par un scalaire ° ¢ ° ¢ Le produit d’une matrice A = a i j de M n,p (K) par un scalaire Æ 2 K est la matrice Æa i j formée en multipliant chaque coefficient de A par Æ. Elle est notée Æ · A (ou simplement Æ A). Exemple 3 Si √ ! 1 2 3 A= 0 1 0 et Æ=2 alors √ ! 2 4 6 ÆA = . 0 2 0 La matrice