Scalaire

α 2  etc…. uur j sinα M α cosα uu r i x 1 Vecteurs Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux. r ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE V = x , un vecteur =un scalaire Produit scalaire r r V1 ⋅ V2 est un scalaire (= un nombre réel) r r r r r r V1 ⋅ V2 =|| V1 || || V1 || cos (V1 ,V2 ) … Produit vectoriel r r V1 × V2 est un vecteur définition r r r r r r || V1 × V2 ||=|| V1 || || V1 || sin (V1 ,V2 ) r r r r r r (V1 × V2 )⊥V1 et

; 1; 1). Donc DI ( ; – 1; 0) et JF ( ; – 1; 0). Donc DI = JF , 2 2 2 et DIFJ est un parallélogramme. Pour établir que DIFJ est un losange, il suffit de démontrer que ses diagonales sont perpendiculaires, ce qui revient à démontrer que le produit scalaire DF . IJ = 0. Or DF (1; – 1 ; 1) et IJ (0; 1; 1). Donc DF . IJ = 0 – 1 + 1 = 0. Donc DIFJ est un losange. L’aire d'un losange est égale au produit des longueurs 2 2 2 2 2 2 DF IJ 3 2 6 1 1 1 0 1 1 des diagonales divisé par 2; l'aire de DIFJ est égale

admet une Vz tg au point (xy,f(x0)) de vecteur directeur u OJ f est dérivable en xo et f '(x0) = 0 Cf admet une Vi tg verticale au point (x0,f(x())). Cf admet une '/2 tg horizontale à droite (à gauche) du point (x0,f(x0)), _.-— Année Scalaire : : 3

l’intrant net (ci-haut, la somme des intrants pesés), le seconde étant la fonction d’activation. Dans le cas du neurone de McCulloch-Pitts, ainsi que dans la plupart des cas, les neurones sont des neurones « produit scalaire », car l’intrant net est produit de la même manière que le produit scalaire entre le vecteur d’intrant et le vecteur de poids associés à ce neurone. Dans d’autres cas, on peut aussi utiliser des neurones « distance ». Comme le nom l’indique, la production de l’intrant net dans ce cas

y2 x2 + y 2 u=x , v =y−x déterminer les fonctions f : R2 → R de classe C 1 solution de l'équation aux dérivées partielles : ∂f ∂f + =f ∂x ∂y Exercice 35 [ 01772 ] Analyse vectorielle On appelle laplacien d'un champ scalaire F de classe C 2 le champ scalaire déni −→ − par ∆F = divgrad F . 2 2 a) Montrer que ∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0 ∂x

dans un repère orthonormé de carreau 1 unité. i. Tracer les vecteurs ii. Représenter le point E, projeté du point B sur (AC). iii. Représenter le point F, projeté de B sur (AD). iv. Calculer . , , . à l’aide de la formule du produit scalaire. Les élèves sont invités à recopier l’encadré du théorème d’al-Khashi ou théorème de Pythagore généralisé avec la figure de la page 260 du livre de Mathématiques. 4. Quelles sont les forces que vous allez rencontrer cette année ? i. L’action de

e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ e e ıtriser le calcul matriciel et la notion de valeur propre ; les TD

calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Courbures des surfaces dans l’espace R3 Ce problème propose une étude des surfaces de l’espace R3 et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l’espace Rn sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . . La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base

théorème des gendarmes appliqué aux suites, . Exercice 2 (4 points) Nlle Calédonie - Mars 2011 L’espace est muni d’un repère orthonormal direct . On considère les points A(–2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; –1) et C(–2 ; 2 ; 2). 1. a. Calculer le produit scalaire puis les longueurs AB et AC. et donc .   et . b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle . donc et . c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. Si les points A, B et C étaient alignés, ils

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa 1 Algèbre linéaire dans R2 et R3 1.1 Vecteurs de R2 et R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . . . 1