III - C Application Du produit scalaire 1) Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Soit vec u (x;y) dans un repère orthonormal(O;vec i;vec j ) Le vecteur vec i a pour coordonnées (1;0) donc vec u .vec v = xx'+ yy' = x * 1 + 0*y = x le vecteur vec j a pour coordonnées (0;1) donc vec u. vec j = y newline Dans un repère orthonormal ( O ; vec i ; vec j ), un vecteur vec u a pour coordonnées( vec u .vec i ; vec u . vec j ) Ex : si on a vec u. vec i = 3 et vec u. vec j = 5 alors vec u = ( 3;5 ) 2) Théorème de la médiane Soient A et B deux points distincts du plan, I le milieu de [AB]. Alors Pour tout point M du plan : vec MA . vec MB = MI² - 1 / 4 AB² MA² + MB² = 2MI + 1 / 4 AB² MA² - MB² = 2 vec MI . vec BA

Démonstration On a , d'après la relation de Chasles, pour tout point M du Plan : vec Ma = vec MI + vec IA et vec MB = vec MI + vec IB (1) vec MA . vec MB = ( vec MI + vec IA ) . ( vec MI + vec IB ) = vec MI ² + vec MI. vec IB + vec IA . vec MI + vec IA . vec IB = vec MI² + vec MI ( vec IA + vec IB ) = vec IA . vec IB Comme I est le milieu de [AB] vec IA + vec IB = 0 et vec IA = 1 / 2 vec BA = - 1 / 2 vec AB et vec IB = 1 / 2 vec AB

donc vec IA . vec IB = ( -1 / 2 vec AB ) . ( -1/2 vec AB ) = -1/4 vec AB ² donc vec MA . vec MB = MI² - 1/4 vec AB ² (2) MA² + MB ² = ( vec MI + vec IA ) ² + ( vec MI + vec IB ) ² newline = vec MI ² + 2 vec MI . vec IA + vec IA ² + vec MI ² + 2 vec MI . vec IB + vec IB ² = 2 vec MI ² + 2 vec MI ( vec IA + vec IB ) + vec IA ² + vec IB ²

Comme I est le milieu de [AB]~ vec IA + vec IB = 0 ~et~~ vec IA² = vec IB ² = ( 1/2 vec AB ) ² = 1/4 AB² Donc MA² + MB² = 2 vec MI + 1/4 AB²

(3) MA² - MB² = ( vec MI + vec IA ) ² - ( vec MI + vec IB ) ² = vec MI² + 2 vec MI . vec IA + vec IA² - vec MI² - 2 vec MI . vec IB - vec IB² = 2 vec MI ( vec IA + vec IB ) = 2 vec MI ( vec IA + vec BI ) = 2 vec MI ( vec BI +