Scalaire

2y 2 1. D´montrer que ϕ d´finie sur R2 × R2 ` valeurs dans R par : e e a ϕ : ((x, y), (x , y )) → xx + xy + x y + 2yy . est un produit scalaire sur R2 . → → Notations : les vecteurs de R2 , − = (x, y) et − = (x , y ) ´tant donn´s, on u u e e → → − ,− . ´crira : ϕ((x, y), (x , y )) = u u e → → 2. Construire une base B = (− , − ), orthonorm´e pour le produit scalaire ϕ, e1 e2 e → − = (1, 0). contenant le vecteur e1 On demande, de plus, de choisir e2 = (γ, δ), avec δ > 0. ´ Ecrire les formules de changement

Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes

point O r r r • D’une base de l’espace : ( x , y, z ) 3 Produit scalaire de vecteurs Le produit scalaire de deux vecteurs est comme son nom l’indique un produit de deux vecteurs donnant un scalaire. Il est définit de la façon suivante : r r r r r r U .V = U × V × cos U ,V r Il est donc nul si les deux vecteurs sont orthogonaux. U ( ) Remarque importante : r r Si le vecteur V est unitaire (de norme 1) alors le V produit scalaire correspond à la projection r orthogonale de U sur la droite de

du cercle Sylvain MATON – ORAL 2 – 14 novembre - Thème: Géométrie au collège 6/14 circonscrit, et de sa réciproque (4ème) Niveau lycée : • par la géométrie analytique en introduisant un repère orthonormé (2nde) • par les vecteurs et le produit scalaire (1ère S) • par les homothéties (BTS) Voici 3 corrigés possibles : 1 niveau 4ème, 1 niveau 1ère S et 1 niveau BTS. Dans les 3 démonstrations suivantes, on pourra utiliser ce préliminaire : AECF est un parallélogramme car AE= CF et (AE) parallèle

regroupent les e e e donn´es ´tudi´es en classes qui, dans certains cas, aident ` identifier les processus physiques. e e e a 2.1 Les m´thodes de d´composition e e Pour illustrer ces diff´rentes m´thodes, nous prendrons ici pour exemple un champ scalaire, e e suppos´ sans bruit, repr´sentant une composante du champ magn´tique terrestre mesur´e en e e e e un nombre fini de localisations g´ographiques r ` la surface de la Terre pendant un temps t. e a 2.1.1 La d´composition en modes propres e Consid´rant

coordonnées du point d’intersection B de Cg avec l’axe des abscisses puis donner une équation de la tangente TB à la courbe Cg en B. On considère la fonction g(x) = 0.5 Produit Scalaire, Probabilités : EXERCICE 1 : Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = a. Déterminer en fonction de a les produits scalaires suivants : − − → → AB.AC − − → − → AB.AD − −→ → − OC.OD − − → → AC.AO − − → → OC.OA −→ − − − → AD.OB EXERCICE 2 : − − → − → On considère un triangle OAB avec OA = 5, OB = 3 et (OA

un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. Il est également possible de multiplier deux vecteurs entre eux: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux si ils ne sont pas colinéaires, ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs. Si deux vecteurs ont la même direction (si leurs

λ0 e e la plus grande des parties r´elles des valeurs propres de df (0). e a) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire hermitien sur Cd , not´ , tel que e Re< df (0)x|x> λ . On pourra commencer par le cas df (0) diagonalisable (dans C), avant de traiter le cas o` df (0) est trigonalisable. u b) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours not´ ) et un r´el σ > 0 tel que e e λ pour tout x tel que x σ. c) En d´duire que 0 est stable. Montrer que

Séquence 10 Géométrie dans l’espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l’espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l’espace 5. Droites et plans de l’espace 6. Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part de renforcer la vision dans l’espace et d’autre part de donner tous les outils algébriques et géométriques permettant de traiter les problèmes d’intersections de droites et de plans. Séquence 10 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Prérequis A Géométrie plane 1

partie Trigonométrie 2 Sommaire général – MA12 p.223 Sommaire Séquence 5 p.299 1ère partie Produit scalaire (1) 2e partie Suites numériques (1) Séquence 6 p.361 1ère partie Dérivation (2) application aux variations des fonctions 2e partie Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 7 p.419 1ère partie Produit scalaire (2) : applications 2e partie Problèmes Séquence 8 p.463 1ère partie Suites numériques (2) 2e partie