Scalaire

calaire dans l'espace Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace Exercice 1 (6 points) [pic] 1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic]. Par Chasles [pic] (AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt)

 Additionnez graphiquement les quatre vecteurs  suivants: (4 m à 30°), (4,5 m à 50° N.O.), (1,5 m à ­120°) et (2,5  m à 70° S.E.) 2 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 1.5.3 Propriétés des vecteurs Multiplication d'un vecteur par un scalaire • Vecteur  3 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 1.5.3 Propriétés des vecteurs Vecteur unitaire Fig. 1.17 4 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 Composantes d'un vecteur : notation rectangulaire

un système mécanique pour lequel certains efforts restent inconnus. 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs Deux torseurs sont égaux si leurs éléments de réduction sont égaux en un point. → → Le produit scalaire R . M (M) constitue un invariant, c’est l’invariant scalaire du torseur. 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs → Soit deux torseurs T1( M ) R1 → 1( M ) → R2 et T2 ( M ) M M → 2 (M ) le produit appelé aussi comoment (C) de ces deux torseurs

MA 2 + AI . AJ = MA 2 − AI × AJ (car AI et AJ col de sens opposés) Ainsi M est tel que MA 2 − 2,5 2 = 6 i.e MA = 3,5 donc M est sur le cercle de centre A et de rayon 3,5. EX 3 1) ABCD losange donc AB + AD = AC et avec la définition 1 du produit scalaire : 2 2 2 1 1 AB . AD = ( AC − AB − AD ) = (10 2 − 2 × 34) = 16 ( 34 avec pythagore…) 2 2 2) P étant le projeté orthogonal de D sur la droite (AB), AB . AD = AB . AP . 16 AB et AP étant col de même sens AB . AP = AB × AP = 34 AP donc AP = 34 EX 4

e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ e e ıtriser le calcul matriciel et la notion de valeur propre ; les TD

( x y∗ ) = lim M T ( x y∗ ) T→∞ (3) I.E.1) Si E est un espace vectoriel inclus dans M 2 , montrer que deux fonc2 2 tions x, y ∈ E sont comparables (développer x + y et x + iy ). Il en résulte que sur E , ( x, y ) a est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier M x+ y 2 = M x + M y + 2 Re 2 2 (4) I.E.2) On dira que deux fonctions x, y ∈ 2 Que vaut alors M x + y ? I.E.3) M2 , sont

"nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a

DS1 Suites Produit scalaire Terminale S3 02/10/2012 Exercice 1 1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel

z'-w=k(z-w) complexe de transformations t, t E C : z' = z + t M(z) t-7 M'(z') Translation de vecteur de centre D d'affixe n d'affixe w, WE C, et de rapport k E IR* B. Geometrie • Produit scalaire de deux vecteurs non nuls du plan B o • Produit scalaire et coordonnees Si ~ A B' IT et V admettent pour coordonnees de I'espace alors respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') dans un repere orthonormal Une equation IT. '1= xx' + yy' + zz' coordonnees

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 27 27 28 29 29 29 II Géométrie : produit scalaire et applications 6 Angles orientés 6.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mesures de l’angle orienté