Scalaire

matrices Définissons tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y : Ce produit est appelé produit scalaire des vecteurs x et y, noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Le produit matriciel s'en déduit : le produit de la matrice A (n × m) par la matrice B (m × p) est la matrice C (n × p) telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. Exemple : On a en effet, en effectuant les produits

3). 3 1 0 1−i Dans C, avec e1 = , e2 = et v = , on a v T = (1 − i, 2i) et v ∗ = (1 + i, −2i) 0 1 2i D´finition 6 (produit scalaire) L’op´ration e e E×E →K (u, v) →< u, v >= v ∗ u = scalaire sur E. Si K = C on l’appelle plutˆt produit hermitien. o est appel´ produit e ui vi D´finition 7 (et propri´t´) < u, v >= < v, u >. Un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire e e e est appel´ espace euclidien et un espaces vectoriel sur C muni d’un produit hermitien est appel´ espace e e hermitien

 x Sur ℝ ou C : N (x )  x Prop :  x, y  E 2 , N x  N y  N x  y         Prop : Si x , x x , y est un produit scalaire sur E , on définit la norme associée par x Ex : Soit E  ℝ2 , et pour tout x  a , b , N x  a 2  2ab  5b2 , montrer que N définit     une norme sur E

numériques………………………………………………...….22 Chapitre VI : Statistiques et probabilités………………………………………..…26 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres………………………………….…….……32 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie…………………………………..36 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan………………………………………...40 Chapitre X : Géométrie dans l’espace………………………………………….….44 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………………….…….48 Partie B : EXERCICES………………………………………….….51 Chapitre I : Equations et inéquations du

coniques, . . . ) et il n’y aura pas lieu de reprendre ensuite leur ´tude dans le cours e de math´matiques ; d’autres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus g´n´ral ou dans une e e e pr´sentation plus th´orique (groupes, produit scalaire, ´quations diff´rentielles, . . . ). e e e e Les deuxi`me et troisi`me parties correspondent ` un d´coupage classique entre l’analyse et ses applications e e a e g´om´triques d’une part, l’alg`bre et la g´om´trie euclidienne d’autre part. e e e e

trois points. Interprétation de z → az +b 4 - Changement de bases, de repères. Écriture matricielle dans le cas de repères orthonormés directs. C) Produit scalaire et déterminant 1 - Définition du produit scalaire, propriétés immédiates (dont Cauchy Schwarz), interprétation en termes de projection. 2 - Propriétés algébriques du produit scalaire : bilinéarité, formules de polarisation, expression dans une b.o.n. (réelle et complexe). 3 - Déterminant : définition, antisymétrie, propriétés algébriques

rectiligne : 1) Définition : a. Une force est dite constante lorsque sa valeur, son sens et sa direction ne varient pas au cours du temps. b. Le travail d’une force constante F pour un déplacement rectiligne AB de son point d’application est le produit scalaire de F par AB . Il est noté : WAB( F ) : travail exprimé en Joules (J). F : valeur de la force en Newton (N). AB : longueur du déplacement (m) α : angle entre F et AB (° ou rad) WAB( F ) = F . AB = F*AB*cos α Exercices n°5,8 et 11 p103 2) Le

de A "nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a Valeurs remarquables 0 sin cos tan 0 sin(2a) = 2sin a cos a cos(a-b) =

. . . . . . . . . . . . . . 10 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 10 14. Espaces Préhilbertiens Réels et Euclidiens 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens . . Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes symétriques . . . . . . Matrice symétrique réelle . . . . . . . . . Procédé de Schmidt . . . . . . . . . .

étudier dans les paragraphes ci-dessous une grandeur physique qui caractérise les effets d'une force: le travail. 2. Définition On appelle travail d'une force constante [pic], lors d'un déplacement rectiligne de son point d'application, le produit scalaire de la force [pic]par le déplacement [pic]. On le note WAB([pic]).   |[pic] | |  |  |  |  | |Avec   |[p|WAB([pic])|Travail