Scalaire

justifiant que exp(u) = exp(id) ◦ exp(u − id) ). 16. Écrire enfin l’endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u. IV. Calcul de distances à l’aide de projecteurs orthogonaux Dans cette partie, on suppose en plus que l’espace E est muni d’un produit scalaire < ·, · >, ce qui lui confère une structure d’espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée · , est définie par : √ ∀x ∈ E, x = < x, x >. Si F est un sous-espace vectoriel de E, on note F ⊥ son orthogonal, et on appelle projecteur

on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y ∈ Rn par x, y = xT y. Définition 1 (différentielle). Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . Une fonction f : U → Rp est dite différentiable en a s’il existe une application linéaire continue L

[2p] 2 On peut également montrer la nullité du produit scalaire des deux vecteurs. La conjecture émise à la question a) est vraie. Remarque : il s'agit d'une configuration très classique (deux triangles rectangles dont le sommet de l'angle droit est commun) Exercice 4 Spécialité (5 points) uuu r uuu r 1. On calcule les coordonnées des vecteurs OA et BA : 0 0 uuu r uuu r OA 5 et BA -5 5 5 Puis on calcule le produit scalaire : uuu uuu r r OA . BA = -25 + 25 = 0 uuu r uuu r Les vecteurs

EQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL Une application immédiate du produit scalaire est l’équation du cercle (mais en fait, Pythagore aurait suffi) : L’équation d’un cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2 = R2 ou −−→2 IM = R2( −−→ −−→ −→ Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) = x y ) ( − a b et

EQUATION D’UN CERCLE DANS UN REPÈRE ORTHONORMAL Une application immédiate du produit scalaire est l’équation du cercle (mais en fait, Pythagore aurait suffi) : L’équation d’un cercle de centre I et de rayon R (R > 0) est IM = R où M (x; y) est un point courant sur le cercle. Comparer deux nombres positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés, l’équation du cercle s’écrit aussi IM 2 = R2 ou −−→2 IM = R2( −−→ −−→ −→ Si I(a; b) et M (x; y), alors IM = OM − OI (Chasles 2) = x y ) ( − a b et

]-1,1[. Pour f et g éléments de E, on pose f , g = ∫ 1 −1 dt. 5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si ∫ 1 −1 h(t ) 1− t2 d t = 0 alors h est la fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des entiers

tableau Profil d’un tableau Taille d’un tableau Confirmation d’allocation Somme de tous les éléments Produit de tous les éléments Valeur maximale Position de la valeur maximale Valeur minimale Position de la valeur minimale Décompte Transposée Produit scalaire Produit matriciel tester une expression logique pour tous les éléments d’un tableau Généralisation des boucles conçue pour les tableaux Tableaux TYPE, DIMENSION(étendue 1, . . . , étendue n) : : nomTableau INTEGER, DIMENSION(5, 2:8) : : TabEntier

défini ainsi : J W = F x AB x cos α N m °  AB est le déplacement, rectiligne, du point d’application de la force.  L’angle α est l’angle formé par les vecteurs F et AB.  Remarque : Mathématiquement, il s’agit d’un produit scalaire : W = F. AB Schéma :  On pousse de manière oblique un bloc rectangulaire d’un point A à un point B. W = F x AB x cos α Remarques :  L’angle α peut être nul, si le déplacement se fait dans le même sens que la force.  Le travail

équation cartésienne de (BC) Donc (BC) a pour équation réduite y=−x+5 Les coordonnées de F sont solutions du système {y=x+3 y=−x+5 ⇔{x=1 y=4 Donc F a pou coordonnées (1 ; 4) Exercice 3 Plusieurs méthodes sont possibles pour montrer que le produit scalaire ⃗PD . ⃗AQ est nul Dans tous les cas il faudra mettre en évidence les égalités de longueurs suivantes : Comme P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur deux droites perpendiculaires en B , BPMQ est un rectangle et donc MQ=PB et PM=BQ Comme

________________________________________________________________________________________________________________________ appliquèrent aux problèmes de géométrie. En fait, ce calcul quaternionesque fut quelque peu éclipsé par le calcul vectoriel classique (avec produits scalaires, vectoriels, mixtes, etc.), aussi bien en géométrie qu’en mécanique rationnelle. Cependant, depuis une vingtaine d’années, nous assistons à une réapparition de ces quaternions, notamment dans la résolution de certains problèmes de pilotage et de