Scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . 38 3/ Barycentre d’un nombre quelconque de points . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Produit scalaire 1/ Définition . . . . . . . . . . . 2/ Autres expressions du produit 3/ Règles de calcul . . . . . . . . 4/ Vecteurs orthogonaux . . . . 8 Applications du 1/ Équations de 2/ Équations de 3/ Longueurs et . . . . . scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le 3 repère (A, G). 3. On sait déja que I centre de gravité du triangle BDE est dans le plan (BDE).     −1 1/3 1 1 − −→ → − −→  − −  → D’autre part IA 1/3  et BD 1 . Le produit scalaire IA · BD = − + = 3 3 0 1/3 0, donc les vecteurs sont orthogonaux.   −1 1 1 −  → − − → → De même BE 0 . Le produit scalaire IA · BE = − + = 0, donc les vec3 3 1 teurs sont orthogonaux. − → Conclusion le vecteur IA orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) est normal à ce plan. Conclusion : I

engendrés par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux autres pour le produit scalaire hermitien canonique sur C3 ). Ainsi P et D dénies par  6 0 0 0  D = 0 18 0 0 −24  et i √  3  i  P = √  3  1 √ 3  i −√ 2 0 1 √ 2  i √ 6  2i   −√  6 1  √ 6 conviennent, ce que l'on peut, après coup, vérier directement

pesanteur. Remarque pour les professeurs Lu sur le forum de lUdppc ( HYPERLINK http//udppc.asso.fr/forum/viewtopic.phpt1636 http//udppc.asso.fr/forum/viewtopic.phpt1636 ) La force sexerant sur un diple magntique est proportionnelle au gradient du produit scalaire du moment magntique par le champ dinduction magntique. Ici, le moment magntique est cr par le champ EMBED Equation.DSMT4 lui-mme et parallle EMBED Equation.DSMT4 . On aboutit une force en gradient de B2. Si EMBED Equation.DSMT4 ne varie

Représentation graphique . 3- Suites arithmétiques . 4- Suites géométriques . 5- Approche de la notion de limite d'une suite . 9- Produit scalaire . 1- Norme d'un vecteur . 2- Définitions du produit scalaire . 3- Propriétés du produit scalaire . 4- Applications en géométrie analytique . 5- Applications au triangle et en trigonométrie . 10-Modélisation et échantillonnage . 1- Répétition

17 17 18 18 6 Vecteurs dans le plan 19 1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 TABLE DES MATIÈRES 7 Règles sur les inégalités 21 1 Opérations sur les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Inégalités

3-d :  Construction de Dürer 7 3-e :  Les étoiles de Compostelle 8 4.  Conjectures et démonstrations 8 4-a :  Autour de trapèzes (2°) 8 4-b :  Points remarquables dans le triangle & Droite d’Euler (2°) 9 4-c :  Ensemble de points et produit scalaire (1°S) 9 4-d :  Le parallélogramme tournant (2°) 10 5.  Lieux de points 10 5-a :  Avec des barycentres 11 5-b :  Avec des fonctions 11 5-c :  Approche géometrique d’une courbe connue (1°S) 11 5-d :  Approche géometrique d’une courbe connue

−5k −4 = 2k , or ce système est impossible (trois valeurs de k diffé 1 = −7k rentes). Les points A, B et C ne sont pas alignés. → − b. le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AB car le produit scalaire est → − −−→ −3 + 4 − 1 = 0 le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AC car le produit scalaire est égal à −5 − 2 + 7 = 0. → − Donc le vecteur n (1 ; −1 ; −1) un vecteur normal au plan (ABC). c. Une équation du plan (ABC)est de la forme 1×x+(−1)×y +(−1)×z+d = 0, donc x − y − z + d = 0 or C doit

fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU = ∂U ∂U ∂U x + y + z. ∂x ∂y ∂z Conclusion : Opérateur de dérivation permettant de définir un vecteur à partir d’une fonction scalaire U : gradU = ∂U x + ∂U y + ∂U z (cartésien) ∂x ∂y ∂z Exemples : Gradient de pression E = - gradV en électrostatique avec V le potentiel électrostatique 2 I.2 La divergence : Définition : Opérateur associant un scalaire à un vecteur

Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD. 4. Soit K le milieu de [AC].   Calculer les affixes des vecteurs OK et DB puis montrer que les droites (DB)et (OK) sont  perpendiculaires. (on pourra utiliser le produit scalaire u.v  xu xv  yu yv ) Exercice 2 : 4 points Une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts : • le défaut S de nature esthétique ; • le défaut F de fonctionnement. Un objet est