Relation de Chasles

intégral - aire sous la courbe représentative d'une fonction positive - définition de l'intégrale à partir d'une primitive de la fonction - valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle - propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles Statistiques et probabilités - nuage de points associé à une série statistique à deux variables numériques - point moyen - ajustement affine par moindres carrés - simulation - conditionnement et indépendance - conditionnement par un évènement

traitements en particulier l’interrogation de celle-ci par certaines requêtes portant sur l’activité et sur le personnel du restaurant. en langage SQL. Vous disposez des annexes suivantes : - Annexe 1 : Glossaire SQL (extrait) - Annexe 2 : Schéma des relations de l’application - Annexe 3 : Contenu des tables - Annexe 3 : Liste des requêtes à réaliser o Partie A Révision sur les requêtes o Partie B Requêtes imbriquées o Partie C Requêtes action Activité : A partir des annexes 1 à 3 et de la base de données

lipchitziennes pour la norme ||.||∞ (e)- Pour tout τ ∈ R, on dénit la fonction xτ par : xτ (t) = x(t − τ ). 1 0 1 T (e-1) Montrer que MT (xτ ) = MT (x) + T −τ x(s)ds + T T −τ x(s)ds. Indication : utiliser le changement de variable s = t − τ , puis la relation de Chasles. 1 0 (e-2) Vérier que lim T −τ x(s)ds = 0. T →+∞ Étude préliminaire. (e-3) Montrer que lim (e-4) Montrer que xτ est moyennable et que M (x) = M (xτ ). (f)- Montrer que pour tout n ≥ 2, toutes fonctions x1 , x2 , . . . , xn moyennables

générateur. Le procédé de reconstruction consiste à retrouver V à partir des (ei). Si la base est orthonormée, il suffit de calculer ∑ ei. Sinon, il faudra au préalable déterminer la base (εi) -2- dite duale de la base (ei) et définie par les relations = 1 si i = j et 0 sinon. On a alors V = ∑ εi. (Le produit scalaire des deux membres avec chaque ei donne le même résultat) • Les séries de Fourier, objet de se chapitre. Il s'agit de décomposer un signal périodique ϕ de période 2π en la somme d'harmoniques

intégral Aire sous la courbe représentative d'une fonction positive, définition de l'intégrale à partir d'une primitive de la fonction, valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles Statistiques et probabilités Nuage de points associé à une série statistique à deux variables numériques, point moyen, ajustement affine par moindres carrés, simulation, conditionnement et indépendance, conditionnement par un évènement de

Démontrer que mes AB, AC  arg c  a ba 2 Solution arg c  a ba  argc  a  argb  a 2 (d’après la propriété sur l’argument d’un quotient)  mes u, AC  mes u, AB 2  mes u, AC  mes AB, u 2  mes AB, AC 2 (d’après la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs) ROC 6 (vue au bac Amérique du Sud - Novembre 2006 Question Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O; u; v On rappelle que pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a |z|  w . Soient M

- v ) = ( u ; v ) ; ( u ; -v ) = ( u ; v ) + π → → → → et si k et k' sont deux réels strictement positifs (k u ; k' v ) = ( u ; v ) → → → Pour tous vecteurs non nuls u , v et w , on a : → → → → → → ( u ; v )+( v ;w)=( u ;w) (Relation de Chasles) [2π] Propriétés (voir justification 02) → Soient u → ● u et → ● u et → ● u et → et v deux vecteurs non nuls → → → v sont colinéaires et de même sens ⇔ ( u ; v ) = 0 [2π] → → → v sont colinéaires et de sens contraire

les milieux des segments [GH] et [AD]. 1. En utilisant les propriétés du cube et du carrés, déterminer la valeur des produits scalaires : A B CD E F GH I J a. −−→ EH · −−→ DH b. −→ AF · −−→ BC c. −→ AF · −−→ HG 2. En utilisant également la relation de Chasles, déterminer la valeur des produit scalaires suivants : a. −→ IE · −−→ GF b. −→ JF · −−→ AB c. −→ IJ · −−→ EF Correction 2 1. a. Les deux arêtes [EH] et [DH] sont perpendicu- laires. On en déduit : −−→ EH· −−→ DH=0 b. On a : (GF )⊥(EF ) ; (GF

obtient, pour tout x ∈ [a ; +∞[ : +∞ +∞ F (x) = F (a) + a F (t) dt = a 1 dt = ln x − ln a. t Remarque : On pouvait calculer F (x) par une autre m´thode, utilisant la lin´arit´ de l’int´grale, des e e e e changements de variable, la relation de Chasles. 14. D’apr`s 13.a), Φu est int´grable sur [0 ; +∞[ et : e e +∞ +∞ Φu (x) dx = 0 0 x −→ +∞ e−x − e−2x dx = F1 (2) = ln 2. x D’autre part, d’apr`s 12.c) : Ψu (x) e −→ ln 2. On conclut : +∞ x −→ +∞ lim Ψu (x) = 0

→ → → Si V a pour affixe   , on sait que V ✁ OM avec M le point d'affixe   . → ✜ → ✂☎✄✝✆   ✁ θ ✁ ( , OM) → ✜ → ( , V ) ✁ θ ✁ ✂☎✄✝✆   ✌ 2π ✑ ✢ ✌ D'autre part on a par définition Donc 2π ✑☞✢ En utilisant la relation de Chasles sur les angles, on peut écrire : → → → → ✜ ( V ,V✣ ) ✁ ( V , )✖ ( → ✜ → ,V✣ ) ✁ → → ( → ✜ → ,V✣ ) ✞ ( → ✜ → , V ) , et en utilisant le résultat précédent, on obtient : ( V , V ✣ ) ✁ θ ✣ ✞ θ ✁