Relation de Chasles

l’angle 𝑥 avec son cosinus et son sinus , qui graphiquement sont les coordonnées du point associé à 𝑥 sur le cercle trigonométrique Exercice 4 : Ligne brisée La première chose à faire est de casser l’angle en utilisant la relation de chasles en essayant de faire apparaitre les angles connus : (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) = (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) + (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗) + (𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗

n ln 0, 01 ≈ 11, 3. Il faut donc prendre au minimum 12. 2 ln 3 Conclusion : sur 12 personnes, au moins une va au niveau 2 avec une probabilité supérieure ou égale à 0, 99. E XERCICE 2 4 points Partie A 1. En utilisant l’égalité de Chasles avec le point I, −→ −→ − − −→ − − → −→ − − → −→ − − → MA2 = MA · MA = MI + IA · MI + IA = MI2 + IA2 + 2MI · IA . −→ − − → De même MB2 = MI2 + IB2 + 2MI · IB . Par somme on obtient : −→ − − → −→ − − → MA2 + MB2 = 2MI2 + IA2 + IB2

α) et (B, β) deux points pondérés tels que α + β ≠ 0, Il existe un point unique G tel que α +β = ; le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β). Pour chercher G, avec la relation de Chasles, remplacer par + , on obtient : (α+β) +β = , donc . Cette relation assure que le point G existe et est unique. Si k ≠ 0, alors kα + kβ = , ceci montre que le point G est aussi le barycentre des points pondérés (A, kα) et (B, kβ). Coordonnées barycentriques d'un point

On dit que E est un espace affine attaché à E (ou de direction E), s’il existe une application E × E −→ E − → (A, B) −→ AB vérifiant les propriètés suivantes : i) Pour tout A ∈ E , l’application E −→ E −→ M −→ AM est bijective. ii) Relation de Chasles : − → − → − → ∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , BC = BA + AC Un espace affine E est dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie. Dans ce cas, la dimension de E est égale à celle de sa direction. Remarque 1 Si E est un espace affine

gα (n) e e n+1 n+1 n+1 gα (n + 1)dx ≤ n n gα (x)dx ≤ n gα (n)dx k+1 1 ≤ (n + 1)α n+1 n dx 1 ≤ α α x n dx 1 1 Pour n ≥ 2 : En sommant les in´galit´s (k+1)α ≤ k e e xα ≤ k α k = 1, 2, · · · , n − 1. On obtient par la relation de Chasles : n−1 k=1 1 ≤ (k + 1)α n−1 k=1 k k+1 dx ≤ xα n−1 k=1 1 kα . wn − 1 ≤ donc n dx 1 xα ≤ wn − n 1 1 nα . dx ≤ xα n 1 1 dx + α ≤ wn ≤ 1 + α x n n 1 dx xα . 3 − a) 1 wn+1 − wn = (n+1)α , (n ≥ 1) donc

fonctions.) b. En écrivant les encadrements précédents pour k = 1, . . . , n, on obtient : 2 1 1 1 dx 2 x 1 1 3 1 1 1 dx 3 2 2 x ··· ··· ··· ··· ··· n 1 1 1 dx n x n −1 n−1 Soit en sommant membre à membre et pour les intégrales en utilisant la relation de Chasles : n 1 1 1 1 1 1 + +··· + dx 1 + + · · · + 2 3 n x 2 n −1 1 1 . n De l’inégalité de gauche, on en déduit que un − ln n 1 1 un − ln n, soit v n 1. de droite n n On a donc a fortiori 0 < v n 1 un − 1 ln n un − n+1 soit : 1 et de l’inégalité

variation d’une fonction. On traite quelques problèmes d’optimisation. Il est important de varier les approches et les outils. L’utilisation du tableur et la mise en œuvre d’algorithmes sont l’occasion d’étudier en particulier des suites générées par une relation de récurrence. Modéliser et étudier une situation à l’aide de suites.  Mettre en œuvre des algorithmes permettant : - d’obtenir une liste de termes d’une suite ; - de calculer un terme de rang donné.  Établir et connaître les formules donnant

Warville | Présentation pour le cours d’histoire de Mr. G.Amorin | | Molamba Nathan | Année 2011-2012 | Présentation de la Biographie, de la vie politique, des idées, actions et déboires, de Jacques-Pierre Brissot dit de Warville. Mise en Relation avec la Révolution Française et Analyse de ses écrits. | Table des matières Biographie P.2 Sa Vie Politique Idées, actions, déboires P.4 Vie intellectuelle Lien avec la révolution et vision de celle-ci, de l’homme

d'un tabou encore jamais évoqué auparavant : la sexualité des femmes afro américaines. Ce film représente une importante avancé dans le cinéma noir américain. Dans le film Do the right thing qu'il réalise en 1989, Spike Lee aborde cette fois les relations tendu entre les jeunes noirs des quartiers et la police, il dénonce la brutalité dont fait preuve celle ci à l'égard des populations des getthos. Les autres films de Spike Lee sont sujets de polémique lorsqu'il met en scène avec Get on the bus la

initiatives qu'il sera amené à prendre. Exercice 1 On admet que, si une suite ( an ) n∈ℕ converge vers le réel ℓ , alors on a : lim n → +∞ 1 n−1 ∑aj = ℓ . n j =0 On se propose d’étudier la suite ( un )n∈ℕ , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : un +1 = un 2 + 1 . 2 1) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 ≤ un < 1 . b) Étudier les variations de la suite ( un ). c) Déduire des questions précédentes que la suite (un) converge et donner