Relation de Chasles

f (123456789). EXERCICE 4 : Prouver que la courbe représentative de la fonction f (x) = x3 − 3x2 + 6 admet le point Ω(1; 4) pour centre de symétrie. EXERCICE 5 : On définit la moyenne harmonique m de deux nombres x et y strictement positifs par la relation : 1 1 + 1 x y = m 2 Prouver que si x ≤ y alors x ≤ m ≤ y. 0.3 Barycentres, Géométrie dans l’espace, Angles Orientés : EXERCICE 1 : −→ − − → Dans chacun des cas suivants, exprimer le vecteur AGi en fonction du vecteur AB : G1 = bar{(A; 2)

| |Vice-présidents : Gilles Quéffelec, Gilles Bruneau, Philippe Martin |Programmation musicale : Jean-Jacques Toux, Jean-Philippe Quignon | |Trésorier : Lionel Rogard |Production :Maryline Chasles | |Trésorier adjoint : Pascal Guénan |Comptabilité-achat : Lydie Faucheux et Jean-Marc L’Hostis | |Secrétaire : Richard Jaffrenou

solutions et − + 2π = 6 6 6 π 5π π 7π La seconde a pour solutions π − = et π + = dans [0; 2π[. 6 6 6 6 3 En tout, l’équation cos2 x = a donc 4 solutions dans l’intervalle [0; 2π[. 4 Réponse d. 3. Sur ]0; 2π[, l’équation cos2 x = 4. Par la relation de Chasles, on a : −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ I H ; GD = I H ; I B + I B ; AB + AB ; AD + AD ; AE + AE ; E A −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ + E A ; E D + E D ; E F + E F ; GD −−→ −−→ Les angles de vecteurs colinéaires de sens contraires (en

e a −→ − − − → −→ − donc le vecteur AM ´gal ` AB + CD. e a Lyc´e Stendhal, Grenoble e -6- Les vecteurs 2007 – 2008 2.2 Classe de seconde Cas particulier Relation de Chasles : − − → −→ − − → Pour tout points A, B et C : AB + BC = AC Il faut savoir utiliser cette relation dans les deux sens. 2.3 Propri´t´ et exemple e e Exemple : − − → −→ − − − → − → −→ − −→ − − → − − → − → Si ABCD est un parall´logramme alors AB + BC = AC, AB + AD = AC

exprimée en millimètres. On a don
 u0 = 0 et u1 = 2. 1. Justi�er que pour tout entier n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 3un. 2. Cal
uler u2, u3 et u4. 3. Montrer par ré
urren
e que pour tout entier n ∈ N, un+1 = 3un + 2. On pourra utiliser 
ette relation dans la suite de 
ette partie. 4. Soit w la suite dé�nie pour tout n ∈ N par : wn = un+1. Montrer que w est une suite géométrique dont on pré
isera le premier terme et la raison. En déduire wn, puis un en fon
tion de n. 5. Au bout de

→ [GH]. → → → 1) → .→ AB AC 2) BE . → KL 3) EF . → CJ → → 4) AB . CG 5) IA . IB 6) EF . EJ 1 ère K D A J B C méthode 2 1) avec B2 puis avec B1 on obtient a . 2 2 2) a 2 3) – a 2 2 4) 0 5) relation de Chasles 3a a 6) 4 2 → → → ème 2 méthode : Dans le repère (D ; DA , DC , DH ) et la définition B4 Théorème B2 Caractérisation d’un plan Le plan qui passe par A de vecteur normal n est l’ensemble des points de l’espace tels que AM . n = 0

dx . x k k k−1 x Ceci n’a de sens que si l’intégrale considérée existe, c’est à dire si k n 2. b) On obtient donc : k n n 1 n 1 1 1 =1+ 1+ dx = 1 + dx, k=1 k k=2 k k=2 k−1 x 1 x en appliquant simplement l’inégalité précédente et la relation de Chasles. c) L’inégalité précédente nous donne : 1 k=1 k n 1 + ln(n). n 1 + ln(n) n n 3) 4) . 1 k=1 k Cette dernière quantité est la moyenne harmonique en prenant ak = k, qui est donc plus petite que la moyenne géométrique correspondante

appelé somme des vecteurs u et v , et est noté u + v . − → − → → − Si, avec les notations précédentes, AB est un représentant de u , et BC est un re− → − → − → − présentant de →, alors on peut écrire la relation AB + BC = AC , connue sous le v nom de relation de Chasles. Utiliser la relation de Chasles : − → −→ − − → − → − → −→ − → − − − − − → EG + GT = E T M A +FM = FM +M A = F A − → −→ −→ − − − → AR + R H + HC = AC Comment construire la somme de deux vecteurs : − − A est un point du plan, →

appelé somme des vecteurs u et v , et est noté u + v . −→ −→ → − Si, avec les notations précédentes, AB est un représentant de u , et BC est un re−→ −→ −→ − présentant de → v , alors on peut écrire la relation AB + BC = AC , connue sous le nom de relation de Chasles. Utiliser la relation de Chasles : −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ EG + GT = E T M A +FM = FM +M A = F A −→ −−→ −−→ −→ AR + R H + HC = AC Comment construire la somme de deux vecteurs : − − A est un point du plan, → u et → v sont deux vecteurs

sommes donc conduits à introduire la notion de moment de la force F par rapport à un point pour caractériser complètement l’A.M. On appelle moment par rapport au point A de la force F appliquée au point M, le vecteur d’origine A défini par la relation : _ A(£ ) M F (// à ∆) (∆) M A ( F ) = AM ∧ F Unité : Newton mètre (N.m) y O x A d M £ F z Ce vecteur moment M A ( F ) sera représenté par une double flèche. Il possède les caractéristiques suivantes : Une origine : Le point A