Chinga Espace - Chinga Espace
Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points suivants :
A
(
6 ; 5 ; 1
)
; B
(
−4 ; 2 ;−4
)
; C
(
4 ; 7 ; 2
)
Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en C.
Correction 1
E�ectuons le calcul des distances de chacun des côtés du tri- angle ABC :
AB2 = (xB − xA)
2 + (yB − yA)
2 + (yB − yA)
2
= (−10)2 + (−3)2 + (−5)2 = 100 + 9 + 25 = 134
AC2 = (xC − xA)
2 + (yC − yA)
2 + (yC − yA)
2
= (−2)2 + 22 + 12 = 4 + 4 + 1 = 9
BC2 = (xC − xB)
2 + (yC − yB)
2 + (yC − yB)
2
= 82 + 52 + 62 = 64 + 25 + 36 = 125
On remarque l'égalité : AB2=AC2+BC2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
ABC est …afficher plus de contenu…

Montrons que les vecteurs
−→
u et
−→
v sont orthogonaux entre eux :−→ u ·
−→
v = −1×2 + (−1)×(−4) + 1×(−2)
= −2 + 4− 2 = 0
On vient de montrer qu'un vecteur directeur de la droite (d) est orthogonal à un vecteur normal au plan
(P) : on en déduit que la droite (d) est parallèle au plan (P).
b. La droite (d) est parallèle au plan (P). Si elle est incluse dans le plan (P), les coordonnées de tous ses points véri�ent l'équation cartésienne du plan (P).
Considérons le point M de la droite (d) dé�nie par la représentation paramétrique pour la valeur t=0 :
M
(
3− 0 ; 2− 0 ; 0
)
=
(
3 ; 2 ; 0
)
Véri�ons si le point M est un point du plan (P) :
2×3− 4×2− 2×0 + 3 = 6− 8− 0 + 3 = 1
Les coordonnées du point M ne véri�ant pas l'équation du plan (P), on en déduit que le point …afficher plus de contenu…

Ainsi, la droite (d) n'est pas incluse dans le plan (P).
2. On considère le pointM obtenu lors de la question précé- dente appartenant à la droite (d).
Pour que la droite (d) soit incluse dans le plan (P ′), il su�t de choisir la valeur du paramètre c a�n que le point
M appartienne à ce plan (P ′).
Ainsi, les coordonnées du point M doivent véri�er l'équation cartésienne du plan (P ′) :
2·xM − 4·yM − 2·zM + c = 0
2×3− 4×2− 2×0 + c = 0
6− 8− 0 + c = 0
− 2 + c = 0 c =