Relation de Chasles

translation qui transforme un point A du plan en un point B. −→ Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs : −→ −→ − → u = AB = CD. Coordonnées d’un vecteur dans un repère. Somme de deux vecteurs. Produit d’un vecteur par un nombre réel. Relation de Chasles. CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES À tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme A en B, l’unique point D tel que [ AD ] et [ BC ] ont même milieu. −→ −→ • Savoir que AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme,

0 ⇔ x = 1/3 ou 3 x = 0 ⇔ x = -3 Simplifications de fractions abusives Incompréhension d’une vérification numérique de solution d’équation 3 1 2 I.2 Géométrie → • Confusion entre AB, AB (vecteur), (AB) etc... • AB + BC = AC “ Relation de Chasles ” pour les longueurs • Démonstrations sur cas particuliers de figures 4 II. Repérage de quelques erreurs typiques II. 1 Nombres a) Décimaux: classe de 6ème et au-delà 2,3 × 10 = 2,30 (0,3) 2 = 0,9 31,52 > 31,8 4,8 + 7,5 =

les cˆ ot´es de l’un soient dans un rapport k avec les cˆ ot´es de l’autre. Alors l’aire de l’un est dans un rapport k 2 avec l’aire de l’autre. D´ emonstration : Elle est laiss´ee en exercice (utiliser l’exercice pr´ec´edent). Exercice 11 (relations m´etriques dans le triangle rectangle) Soit ABC rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. 1. Montrer que ABH, ACH et ABC sont semblables. 2. Montrer que AH.BC = AB.AC. 3. Retrouver le r´esultat pr´ec´edent en calculant l’aire de ABC

¥DŽcomposer un vecteur ˆ vecteursÊ: ¥ On utilisera des lÕaide de la relation de Chasles. § ŽgalitŽ combinaisons linŽaires de ¥ Passer de la relation § addition vecteurs sans en donner la vectorielle AC = λ.AB ˆ la § multiplication dŽfinition. Elles permettront relation algŽbrique d'un vecteur en particulier de faire des par un rŽel dŽcompositions de vecteurs. AC = λ .AB. § colinŽaritŽ ¥ Utiliser les relations vectorielles pour dŽmontrer des propriŽtŽs gŽomŽtriques (distance, alignement

rappelle que pour des points A et B d’affixes respectives a et b, AB = b − a et ( u, AB ) = arg ( b − a ) [ 2π ] . Question : montrer que les affixes z et z’ d’un point quelconque M du plan et de son image M’ par la rotation R sont liées par la relation z ' ω = eiθ ( z − ω ) . − 2. On considère les points I et B d’affixes respectives z I = 1 + i et z B = 2 + 2i . Soit R la rotation de π centre B et d’angle de mesure . 3 a. Donner l’écriture complexe de R. b. Soit A l’image de I par R. Calculer

signe de la différence un+1−un (si elle est positive, la suite sera croissante… etc.) Ici, un+1−un = ⌠ x 2e -x dx − ⌠ x 2e -x dx ⌡ ⌡ 0 0 On doit alors penser successivement à deux formules sur les intégrales : a b b c c • - ⌠ f=+ ⌠ f • puis la relation de Chasles : ⌠ f+ ⌠ f= ⌠ f ⌡ ⌡ ⌡ ⌡ ⌡ b a a b a On a : un+1−un = ⌠ ⌡ 0 n+1 n+1 n n x 2e -x dx − ⌠ x 2e -x dx = ⌠ ⌡ ⌡ 0 0 n n+ 1 x 2 e -x dx+ ⌠ x 2 e -x dx= ⌠ ⌡ ⌡ n n 0 n+ 1 x 2 e -x dx. Il reste à déterminer le signe de l’intégrale

..............................................................................................................7 b) Soustraction de deux vecteurs................................................................................................8 c) Relations algébriques..............................................................................................................8 III – Coordonnées d'un vecteur............................................................................................

en résolvant :  ;  ; . D'où : . 3. Comment détermine-t-on le sens de variation d'une fonction composée ? • Le sens de variation d'une fonction dépend du signe de sa dérivée. On détermine la dérivée d'une fonction composée en appliquant la relation : . Ainsi pour dériver la fonction h, définie sur par h(x) = (−2x + 1)3, on pose g(x) = −2x + 1. D'où g(x) = −2. Comme (g 3)' = 3g 2 g', alors h'(x) = 3(−2x + 1)2 × (−2) = −6(−2x + 1)2. La dérivée étant toujours négative, la fonction g est décroissante

vetoriels de R[X]. Montrons par analyse synthèse que R[X] ⊂ H + I. 2� Analyse Soit P ∈ R[X]. Supposons qu'il existe (Q1, Q2) ∈ H × I tels que ∀X ∈ R, P (X) = Q1(X) +Q2(X). Alors ∀X ∈ R, P (−X) = Q1(−X) +Q2(−X) = Q1(X)−Q2(X). En sommant les deux relations, on obtient Q1(X) = P (X) + P (−X) 2 puis Q2(X) = P (X) − Q1(X) = P (X)− P (−X) 2 �

Théorème Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme. Opérations sur les vecteurs de l’espace a. Addition On additionne les vecteurs de l’espace comme on additionne les vecteurs du plan, à l’aide de la relation de Chasles ou de la règle du parallélogramme. On admet que l’addition des vecteurs de l’espace possède les mêmes propriétés que l’addition des vecteurs du plan. Exemple Dans le parallélépipède ci-contre on peut écrire : AG = AB + AD + AE. En effet, dans