Relation de Chasles

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si

d'indice n) de la suite u = (un ) n∈ Modes de génération d'une suite: • soit par une définition explicite du terme de rang n, du type un = f (n) où f est une fonction définie sur un intervalle du type [ a ; + ∞ [ où a est un réel . • soit par une relation dite de récurrence du type un +1 = f (un ) , avec u0 = a ∈ , où f est une fonction définie sur un intervalle I telle que f ( I ) ⊂ I Définition: Dire qu'une suite u = (un ) n∈ est: strictement croissante à partir du rang p signifie que, ∀n ≥ p ,

de l'Éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > www.education.gouv.fr 4 / 11 Bulletin officiel spécial n° 8 du 13 octobre 2011 Contenus Fonctions logarithmes Fonction logarithme népérien. Relation fonctionnelle. Capacités attendues • Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. • Connaître les variations, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. • Résoudre une inéquation d’inconnue n entier naturel, de la forme

f ( x ) dx + b f ( x ) dx = [ F ( x ) ] a + [ F ( x ) ] b = F(b) – F(a) + F(c) – F(b) = F(c) – F(a) ∫ c ∫ b ∫ c = a f ( x ) dx. ∫ c Propriété ∫a f ( x ) dx + ∫b f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx Cette relation porte le nom de « relation de CHASLES » (par analogie à AB + BC = AC ). b c c Séquence 6 – MA01 177 © Cned – Académie en ligne Interprétation graphique de l’intégrale d’une fonction positive à l’aide d’une aire Notion d’unité d’aire Le plan

• f est décroissante sur I si, et seulement si : a < b ⇒ f (a) > f (b) • f est monotone sur I si, et seulement si f est croissante ou décroissante sur I. Remarque : On dit qu’une fonction croissante conserve la relation d’ordre et qu’une fonction décroissante inverse la relation d’ordre. 3 Résolution graphique Soit Cf la courbe représentative d’une fonction f . Pour résoudre graphiquement • f (x) = 0 on cherche les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.

12 Activités 4 et 5 sur les translations III) Opérations sur les vecteurs 1) Somme : Idée à retenir : « La somme de deux vecteurs correspond à deux déplacement successifs » a) Les deux vecteurs positionnés sont l’un à la suite de l’autre Relation de Chasles : On définit la somme vectorielle AB + BC comme étant le vecteur AC . b) Les deux vecteurs ne sont pas positionnés sont l’un à la suite de l’autre Méthode : On déplace les vecteurs de façon à les mettre l’un à la suite de l’autre. Etant donnés

( x ) dx + ∫b f ( x ) dx = [ F ( x ) ] a + [ F ( x ) ] b ̈ Calculons = F(b) – F(a) + F(c) – F(b) = F(c) – F(a) c ∫ = a f ( x ) dx. Propriété ᕦ b c c ∫a f ( x ) dx + ∫b f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx Cette relation porte le nom de « relation de CHASLES » (par analogie à AB + BC = AC ). Séquence 6 – MA01 177 © Cned – Académie en ligne ᕣ Interprétation graphique de l’intégrale d’une fonction positive à l’aide d’une aire Notion d’unité d’aire Le plan est muni d’un

Raphaël et la métamorphose du vieillard montre là encore la force du désir. Le roman donne plusieurs exemples de voyance : Pauline et sa mère prédisent l'avenir par des pratiques superstitieuses ; Raphaël est doté d'une clairvoyance surnaturelle sans relation avec la possession de la peau, dès sa jeunesse, puis plus tard, il se détache des choses terrestres, il est lucide sur lui-même, a des pressentiments, fait des prédiction, jouit d’un magnétisme, manifeste un don d’intuition. L'opposition entre

  ∫ f ( x ) dx =  F ( x ) a b b a = F ( b ) − F ( a ) ou F est UNE PRIMITIVE QUELCONQUE de f sur [a;b]. La variable x est muette On a ∫ a a f ( x) dx = 0 et ∫ b b a a f ( x) dx = − ∫ f ( x)dx , ainsi que la Relation de Chasles a b b b b ∫ a a c f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a b b c b Linéarité de l'intégrale ∫ ( f ( x) + g ( x) )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx et pour tout réel k, ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a a a Positivité de

définition I, la valeur F (b) F (a) Rb ne dépend pas du choix de la constante. On la note a f (t)dt. Si a > b, on pose souvent Rb Ra Rb a f (t)dt = b f (t)dt, de telle façon qu’on ait toujours la formule a f (t)dt = F (b) F (a), et on a la relation de Chasles : pour tous (a, b, c) Z b f (t) + a Z c f (t)dt = b Z c f (t)dt. a Rb Cette quantité a f (t)dt est appelée l’intégrale de f entre a et b. Le but R b du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d’identifier cette quantité