Technique Quantitative Appliquée.

Chapitre 1 : Exponentielle et logarithme.
I – Exponentielles.
(ex)’ = ex et e0 = 1 exp : R → R+
Limite lorsque x tend vers - ∞ : ex = O+
Limite lorsque x tend vers + ∞ : ex = + ∞ ex + y = exey et ex-y = ex / ey et e-x = 1 / ex e ≈ 2,718
(eu(x))’ = u’(x)*eu(x)

II – Logarithme népérien.
(ln x)’ = 1 / x ln : R+ → R
Limite lorsque x tend vers 0+ : ln x = - ∞
Limite lorsque x tend vers + ∞ : ln x = + ∞ ln xy = ln x + ln y et ln x / y = ln x – ln y et - ln x = 1 / ln x eln x = ln ex = x ln xn = n ln x
(ln u(x))’ = u’(x) / u(x)

III – Logarithme en base a. loga x = ln x / ln a loga a = 1

IV – Puissance d’un nombre. an = en ln a : Exponentielle de n en base a. xn = en ln x pour tout x ∈R et n > 0 alogax = logaax = x :
- Si la a > 1, alors la fonction exponentielle en base a est strictement croissante.
- Si 0 < a < 1, alors la fonction exponentielle en base a est strictement décroissante.
Si l’on compare les croissances linéaire, exponentielle et logarithmique entre elles, on peut observer que lorsque x tend vers + ∞, alors toujours ln ax < ax < eax (avec x∈R et a>1)
(ln(f(x)))’ = f’(x) / f(x)

On appel élasticité de f en x : E(f)(x) = (x*f’(x)) / f(x)

Que mesure l’élasticité ?

Soit y une variation de x de δ en pourcentage de x, avec δ > 0 : y = x + (δ / 100)*x
Si δ est petit on a f(y) ≈ f(x) + f’(x)*(y - x) ≈ f(x) + f’(x)*(δx / 100) ≈ f(x)*(1 + (δ / 100)*(x*f’(x)) / f(x)) où E(f)(x) = (x*f’(x)) / f(x)
Donc f(y) ≈ f(x)*(1 + (δ / 100)* E(f)(x))
Conclusion : Si x vari de δ% alors f(x) vari environ de δ*E(f)(x)%
L’élasticité est utilisée par exemple pour calculer les variations de l’offre et de la demande consécutive à une petite variation de prix.

Echelle logarithmique en base a : 1__a__a²__a^3__
Echelle logarithmique en base 10 : 1__10__100__1 000__
Repère semi-logarithmique : On appelle repère semi-logarithmique un