Polynômes orthogonaux

dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1.b. En d´eduire que E = Im(f ) ⊕ Ker(f ). 1.c. Montrer que Ker(f ) = Ker(f ◦ f ). 2.a. Montrer que < f (x), x >= 0 pour tout x ∈ E. 2.b. En d´eduire que f admet

La projection orthogonale à vues multiples La projection orthogonale à vues multiples Les projections orthogonales à vues multiples font partie des projections parallèles. On considère, dans ce type de dessin, que l’observateur est situé à l’infini. Les projetantes sont alors parallèles entre elles. Ces projections sont également orthogonales puisque les projetantes sont perpendiculaires au plan de projection. La projection orthogonale à vues multiples Un autre élément qui distingue les projections

Dénitions Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore 1.4.2 Sous-espaces orthogonaux Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E F ∩ F ⊥ = {0}, F ⊂ (F ⊥ )⊥ , {0}⊥ = E , E ⊥ = {0}(démo) Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, G = F ⊥ et F = (F ⊥ )⊥ (démo) Dénition d'un projecteur orthogonal Th (isomorphisme)

de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1 Z1 2 est une combinaison linéaire des variables du tableau X2 Les valeurs des projecteurs P1 et P2 : Rappel d'algèbre linéaire * Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par les colonnes de X est

= 1/2(u + u ) + 1/2(u − u∗ )). • On dit qu’un automorphisme u de E est orthogonal ssi u admet un adjoint et u∗ = u−1 . D´finitions . — On dit qu’un endomorphisme u de E est normal ssi u admet un adjoint et e u et u∗ commutent. Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal est normal. e e • Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est

v 0 Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors les trois points A, B et C sont distincts et définissent un plan et nous donnons quatre définitions du produit scalaire : → → → → → → Définition A1 Projection orthogonale C K Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB) → → u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC → → → → → → A H B Définition A2 Normes et cosinus → → C → → → u . v = AB . AC = II AB II × II

est colinéaire à v√ (deux vecteurs dont l’un correspond au produit de l’autre par un scalaire sont colinéaires) ; – fvF est orienté dans le sens opposé à v√ . De plus, ʈ fvF ʈ ϭ kʈ v√ ʈ Ϸ 13,25 ϫ 9133,03 Ϸ 121 012,65 GN. • Calculer la projection orthogonale de fvF : – sur la droite perpendiculaire à l’axe de la navette ; Norme de la projection Ϸ ʈ fvF ʈ ϫ cos 16,86° Ϸ 115 811,08 GN – sur l’axe de la navette. Norme de la projection Ϸ ʈ fvF ʈ ϫ sin 16,86° Ϸ 35 097,8 GN 4500 m/s B Ϸ 121 012,65 GN Ϸ

vecteurs: u ; v ; u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2  b) Propriété: i) Si u v Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de

19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . 19.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . 19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . . 19.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Projections orthogonales . . . . . . . .

Mais cette d´emonstration, accessible `a certains ´el`eves de premi`ere, n’est ni la seule ni la meilleure. Si l’on appelle A la projection orthogonale de A sur (M N ), le th´eor`eme de Pythagore suffit pour ´ecrire AM 2 = AA 2 + A M 2 et AN 2 = AA 2 + A N 2 , d’o` u AM 2 − AN 2 = A M 2 − A N 2 . Si l’on appelle, donc, A , B et C les projections orthogonales respectivement de A, B, C sur (M N ), on a A M 2 − A N 2 = B N 2 − B N 2 = C M 2 − C N 2 , mais A , B et C 1 appartiennent tous trois `a la