Polynômes orthogonaux

termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon). Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux, par invariance de similitude du polynôme caractéristique. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très

Exo7 Polynômes ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❉é❢✐♥✐t✐♦♥s ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❆r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❘❛❝✐♥❡ ❞✬✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡✱ ❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥ ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❋r❛❝t✐♦♥s r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❊①❡r❝✐❝❡s P♦❧②♥ô♠❡s Motivation Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : aX 2 + bX + c = 0. Savez-vous que la résolution des équations de degré 3, aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a fait l’objet de luttes acharnées

de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 En particulier, faire remarquer que la fonction carré n’est pas linéaire. Fonctions polynômes de degré ƒ Connaître les variations des fonctions polynômes de Les résultats concernant les variations des fonctions 2. degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la symétrie de leurs courbes. propriété de symétrie de leurs courbes

dits orthogonaux si et seulement < u, v >= 0. On ´crit que u⊥v. e e remarque Le vecteur nul est orthogonal ` tout vecteur. a Th´or`me 4 Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. e e d´monstration e Soit (eα )α∈I une famille de vecteurs orthogonaux 2 ` 2. Alors < eα , eβ >= 0 pour tout α = β. Posons a aβ eβ = 0. ∀α ∈ I, 0 =< eα , aβ eβ >= aα < eα , eα >= aα ||eα ||2 , donc ∀α ∈ I, aα = 0 β∈ I β∈I Exercice 8 Soit u = 1+i 2+i et soit v = . montrer que u et v sont orthogonaux et

La factorisation des polynômes de degré 3 Pour factoriser un polynôme de degré 3 P(x), il faut : 1) déterminer un nombre k tel que P(k) = 0 2) diviser P(x) par (x – k) 3) utiliser le quotient de la division pour écrire le facteur trinôme 4) factoriser le trinôme si possible Voici un exemple : Factorise P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 1) P(1) = 0 2) Donc il faut diviser P(x) par (x –1). La division synthétique est utile pour

EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES CORRIGE PARTIE I 1°) a) Comme a(e1)=e2 et a2(e1)= e3 la famille (e1, a(e1), a2(e1)) est une base de E et a est cyclique. • Le polynôme caractéristique de A est : -(x-1)(x-2)(x-3). • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ Ker (A-I3)=Vect ⎜ − 5 ⎟ , Ker (A-2I3)= Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ , Ker (A-3I3)=Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ et ⎜ − 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des

k en fonction de Dk , puis calculer M k . Correction [002580] 1 2 Partiel Exercice 4 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est   −3 −2 −2 1 2 A= 2 3 3 2 1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A. 2. Démontrer que les valeurs propres de A sont −1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés. 3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de u est diagonale. 4. Trouver

commence par soustraire un scalaire r à chaque élément de la diagonale principale de M : a11 − r a12 M (x∗ , y ∗ ) − rI = a21 a22 − r 3 On calcule ensuite le polynôme caractéristique de cette matrice en calculant son déterminant : det(M (x∗ , y ∗ ) − rI) = (a11 − r)(a22 − r) − a12 a21 = r 2 − (a11 + a22 )r + (a11 a22 − a12 a21 ). Ce polynôme du second degré admet deux racines négatives (ou a partie réelle négative) si et seulement si : (1) det(M ) = (a11 a22 − a12 a21 ) > 0 (2) tr(M ) = (a11 + a22

MATHEMATIQUES (Semestre 4 ) – ALGEBRE II – Travaux Dirigés -TDProfesseur : M.REDOUABY Série d’exercices Quelques corrigés Partie 1 Exercice 1 On considère les trois matrices suivantes :         −2 0                 7 ; B= A= 0 3 0 5 0 C= 0 4                         0 −11 −11 Exercice 1 1) Calculer : 2A -3B + 4C ; det((A-B+2C) ) 3 Exercice 1 2)

Dérivée et sens de variation d’une fonction. (Savoir le maxi et MINI) Fonction définie sur un intervalle f(x) = x²- 6x +1 Calculer la dérivée (VOIR TABLEAU) f’(x)= 2x – 6 Chercher la valeur de x 2x – 6 = O 2x = 6 x = 6 : 2 = 3. (On applique la règle «  signe de a = 2 après le o », donc + après le 0. CHERCHER LA VALEUR DE X QUI ANNULE LA DERIVEE (CHERCHER LE SIGNE DE a.) ( Dresser le tableau de variation Tracer les flèches. positionner f(x)