Polynômes orthogonaux

FONCTIONS TRINOMES OU FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- FONCTIONS TRINOMES 1- Définitions et forme développée : - On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction f définie sur IR par f (x )=a x 2+b x+c où a est non nul. - L'expression a x 2+b x+c est appelée polynôme du second degré ou trinôme. Exemples : fonctions f, g et h définies sur IR par : f (x )=3 x 2 – 2 x+1 ; g ( x)=( x+1)(3 x−1) et h( x)=( x+1)3 – (x−1)3 sont des fonctions trinômes.

en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition

FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE I. Fonctions polynômes 1. Définition |1. On appelle fonction polynôme ou polynôme de degré n, [pic], toute fonction définie sur [pic], dont l’écriture peut se mettre sous la forme : | |x ) a n x n + a n-1 x n-1 + … + a1 x + a0 où a0 , a1 , … , an sont n + 1 réels et an ≠ 0. | |2. Le terme ap xp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P), le degré du polynôme.

Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme) Deux polynômes sont égaux si et seulement

Polynômes 1) Définitions P(x)=2x+1 est un polynôme de degré 1 Q(x)=[pic] est un polynôme de degré 2 [pic] n’est pas un polynôme On appelle monôme de degré n toute écriture de la forme [pic], ou [pic] est un réel fixé et x une variable réelle. On appelle polynôme P toute somme de monômes, ou encore toute écriture de la forme [pic] . n s’appelle le degré du polynôme (le plus grand entier ). Coefficients : Les réels [pic] sont appelés les coefficients du polynôme. Quelques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition

4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP

Existence et unicité Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n. Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0. Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet