Polynômes orthogonaux

© Cned – Académie en ligne C orrigé Séquence 2 Corrigé des activités du chapitre 2 Activité 1 Étude d’une fonction coût Soit C la fonction définie sur [0 ; 20] par C ( x ) = 2x 3 − 54 x 2 + 500 x + 392. 1  a fonction C est une fonction polynôme dérivable sur [0 ; 20].  L La fonction dérivée C ‘ est définie par C '( x ) = 6 x 2 − 108 x + 500. Le trinôme 6 x 2 − 108 x + 500 a pour discriminant ∆ = −336. Comme ∆ < 0 le trinôme garde un signe constant sur [0 ; 20] ; ce signe étant le même

(y)) = λd(x, y), o` λ ∈ R+ est une constante qui s’appelle u le rapport de la similitude f . Une similitude de rapport 1 s’appelle une isom´trie. e Exemples : une translation, une rotation (autour d’un point selon un angle donn´), e une sym´trie (orthogonale par rapport ` une droite), une homoth´tie sont des similitudes ; e a e ce sont des isom´tries sauf les derni`res. e e Les figures suivantes sont semblables deux ` deux (il existe une similitude du plan qui a transforme l’un en l’autre). Remarque

Site de Rennes 7 rue du Clos Courtel 35050 Rennes Cedex 9 Sommaire Conseils généraux p.5 Séquence 1 Proportions p.7 1. Pré-requis 2. Proportion 3. Synthèse Séquence 2 Second degré p.35 1. Pré-requis 2. Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2 3. Équation du second degré 4. Signe du trinôme 5. Synthèse Séquence 3 Taux d’évolution p.59 1. Pré-requis 2. Taux d’évolution 3. Synthèse Séquence 4 Statistiques 1. Pré-requis 2. Médiane, quartiles, diagrammes en boîte 3. Moyenne

-eiq = eip eiq = ei(q + p) donc |-eiq| = 1 et arg(-eiq) = q + p. eiq eiq c.  = eiq⋅ei(-q¢)  = ei(q - q¢) donc | | = 1 et i q¢ e eiq¢ eiq arg( ) = q – q′. eiq¢ iq¢ uµ uuur uuuur 4 (OM ; OM¢) = arg e  = q′ – q. eiq Travaux pratiques 1TP TICE 1  Des polynômes symétriques 1 a. Les racines de f sont les abscisses des points communs de la courbe avec l’axe des abscisses. Il y a deux racines réelles si et seulement si c > 2 ou si c < –2. Elles semblent avoir le même signe et plus l’une est grande, plus

d’ordre k × k. Ce système VAR peut aussi être exprimée sous sa forme de moyenne mobile : Zt = Π0 + Π1 (L)ut + Π2 (L)Dt (4) avec Π0 = [I − A1 (1)]−1 A0 , Π1 = [I − A1 (L)L]−1 et Π2 = [I − A1 (L)L]−1 A2 . Étant donné que Dt et ut sont orthogonaux, Π1 (L) et Π2 (L) peuvent alors servir à caractériser les réponses dynamiques du vecteur Zt à des changements de ut et de Dt , respectivement. Bien qu’intéressante, la procédure que nous venons de décrire n’a qu’un champ d’application limité

Time Series. Je promets de m’y mettre bientôt. 3 Semaine 1 1. Produit scalaire hermitien. Espaces de Hilbert. L’espace l2 (N) est complet. 2. Si L ⊂ K avec K Hilbert, alors L est Hilbert si et seulement si il est fermé dans K. Projection orthogonale sur L, fermé dans K. Pour tout sous-espace L ⊂ K on ⊥ a L = (L⊥ ) . 3. Procédé de Gram-Schmidt. Séparabilité. Si séparable, soit la dimension est finie, soit K ∼ l2 (N). Si L ⊂ K est de dimension finie, alors L est fermé. dθ 4. L’espace L2 (0,

Vectoriels 12 Les propriétés 1-4 impliquent également 5. (au, v) = a∗ (u, v), avec a ∈ C. 6. (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Dans ce deuxième cas, on remarque que d’après la propriété 2, le produit scalaire (u, u) ∈ R Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si (u, v) = 0. En effet, pour l’exemple ci-dessus des vecteurs dans l’espace cartesien, cette relation équivaut à l’orthogonalité au sens géométrique. En présence d’un produit scalaire, nous pouvons construire une base orthonormée, c’est à dire

l’étude plus générale du trinôme du second degré. Extrait du programme (Bulletin officiel n° 9 du 30 septembre 2010) : Contenus Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Capacités attendues • Utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. ▶ QCM Pour bien commencer Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans

4 CONTENTS 9 Petits rappels d’analyse numérique 9.1 Inversion de matrices et résolution de systèmes 9.2 Recherche de zéros . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Recherche d’optimums . . . . . . . . . . . . . 9.4 Interpolation de fonctions (par des polynômes) 9.5 Solutions d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 85 88 90 90 93 10 Résolution des edp et différences finies 10.1 Méthodes de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Les fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.3 Racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4