Polynômes orthogonaux

cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et (e1, e 2 , e3 ) est une base orthonormée directe de E . 1.a a 2 + b 2 + c 2 = 1     Montrer que T (a, b, c) est une matrice orthogonale ssi b 2 + 2ac = 0 .    b(a + c ) = 0    En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à F . Préciser, parmi ces matrices celles dont le déterminant est positif. On note u l’endomorphisme de E de matrice B dans la base (e1, e 2 , e3 ) . Reconnaître u , et préciser ses caractéristiques

Représentation Orthogonale » S2.2: LES CONVENTIONS ET NORMES D’EXPRESSION. S2.5: REALISATION GRAPHIQUE. Feuille : 1/5 1 -) DEFINITION: En dessin technique, toute pièce est représentée par des vues permettant d’en définir avec fidélité les formes et les dimensions. Une vue est une projection orthogonale sur un plan disposé parallèlement à la face observée. Vue obtenue Plan de projection Face observée Sens d’ observation Projetantes LE DESSIN BATIMENT. « Représentation Orthogonale » S2

projection (ne pas confondre un sinus avec un cosinus !) § Ex-M1.1 → ■ Comment orienter ? et −? en base cylindrique ? ? J M´thode 1.— ?, par d´finition, est l’angle orient´ depuis l’axe ?? vers la e e e direction ??, o` ? est la projection orthogonale de ? sur le plan horizontal u ???. → Le vecteur −? doit indiquer le sens de d´placement du point ? pour une aug? e mentation de ?. → Dit autrement, le vecteur −? est orient´ dans la direction « ? croissant ». ? e § Ex-M1.7 ■ Qu’est-ce

le signe de f ' car nous ne disposons pas d'une méthode générale pour déterminer les racines éventuelles d'un polynôme de degré 4. Remarque2 : nous avons eu de la « chance » que f '', polynôme de degré 3, soit factorisable «  à l’œil nu » , sinon, la détermination de son signe eut été plus ardu. II. [pic] f est une fonction rationnelle ( puisque f est le rapport de deux polynômes), donc f est définie et dérivable lorsque son dénominateur ne s'annule pas. D'où : [pic]\ {-1}. Déterminons

d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation 98 3.5 Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs Théorème de Cayley et Hamilton Idéaux de K [X] (PSI Applications de la diagonalisation 119 3.6.1 3.6.2

faire Debut_Tant_que instructions Fin_Tant_que Le second degré www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S I – Forme canonique d'un polynôme de degré 2 Définition 1: On appelle fonction polynôme de degré 2 une fonction de la forme : Pour tout x  , x  ax2 + bx + c avec a, b, c   et a ≠ 0 (forme développée) Vocabulaire : Les réels a, b et c sont appelés les coefficients du polynôme. Propriété 1: Pour toute fonction f : x  ax2 + bx + c avec a, b, c   et a ≠ 0, il existe deux réels uniques α et β tels

M2 , sont orthogonales si = 0. Écrire l’inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer). Concours Centrale-Supélec 2005 2/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP I.F - Soit P un réel strictement positif. Montrer que l’ensemble des fonctions P périodiques de B est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables. I.G - Soit N P = {x : x ( t ) = k=1 ∑ ck e iω k t N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I l’ensemble des polynômes trigonométriques

....................5 Second degré : Tableau récapitulatif...............................................................................................................6 1. Forme canonique Définition On appelle trinôme du second degré, ou polynôme de degré 2, toute fonction P, définie par P (x ) = ax 2 + bx + c (avec a, b, c Î R et a ¹ 0 ) Méthode (Obtention de la forme canonique) Soit le trinôme P (x ) = ax 2 + bx + c . b c P (x ) = a x 2 + x + a a b b 2 b = a x2 + 2 ´ x + 2a

||wj || Par dénition, B = (x1 , x2 , x3 , x4 ) où, pour chaque j , xj := 2 2 1 3 3 1 1 12 6 5 5 1 B = (( √ , − √ , 0, 0), ( √ , √ , √ , √ ), (0, 0, √ , − √ ), ( √ ,√ , −√ , −√ )) . 5 5 23 23 23 23 2 2 230 230 230 230 1 Exercice II Le polynôme caractéristique de A est χA (X) = det(A − XI) 7−X 10 −11i 10 −14 − X 10i = 11i −10i 7−X = (7 − X)(−14 − X)(7 − X) + 10.(10i).11i + (−11i).10.(−10i) −(11i).(−14 − X).(−11i) − (−10i).(10i).(7 − X) − (7 − X).10.10 (en application de la règle de

x→−∞ x →−∞ 1 1+ 1 x →1 = −∞ (car lim 1 + x→−∞ 1 = 1) x →0 4 Cas des fonctions polynomes et rationnelles en +∞ et en −∞ On utilise la propriété suivante (uniquement valable en +∞ et en −∞) : PROPRIÉTÉ • En +∞ et en −∞, une fonction polynome a la même limite que son terme de plus haut degré. • En +∞ et en −∞, une fonction rationnelle (c’est à dire, un quotient de deux polynomes) a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exemples