Polynômes orthogonaux

__________________________________ Les échelles o Échelle de réduction o Échelle vraie grandeur o Échelle d’agrandissement La projection orthogonale Les lignes de base du dessin technique La cotation o Les lignes d’attache o Les lignes de cotes o Les cotes o Les lignes d’annotation Tracés géométriques Formes de représentation (Croquis, perspective, projection oblique o Projection orthogonale o Projection axonométrique Isométrique Oblique Perspective Standards et représentation (schémas et symboles) o

. . . . . . 2 2 2 4 7 2 Orthogonalit´ dans un espace pr´hilbertien e e 10 2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Bases orthonormales dans un espace euclidien ou hermitien . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Suppl´mentaire orthogonal e 14 3.1 Th´or`me fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! ) vérifiant : pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) , t X A X ≥ 0 . GLn( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn ( ! ) . On ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn ( ! ) Pour p entier naturel, ∆ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang supérieur ou égal à p et vérifiant : tM M = I n . ∇ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang inférieur ou égal à p.

Travail présenté à M. Pascu École secondaire Mont-Royal Le jeudi 9 octobre 2014 Notre professeur de mathématique nous a donné à prouver la formule d’une distance d’un point et une droite,qui est , en utilisant la projection orthogonale, dont les coordonées du point sont (h,k) et la règle de la droite est Ax+By+C. (1) Hypothèse: Figure 1 Voir figure 1 On va nommer le point Q pour les coordonés (h,k) Les composentes

Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p, q) et B une matrice de format (q, p). Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA. 1 Correction [005656] Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction

−a + 2 = b b b −1 1 1 1 −1 1 c 2 2 + c −2 + c ￿ ￿ ￿ ￿ a + b + c −a + c d1 0 = = −a + c a − b + c 0 d2 d’o` −a + c = 0, c’est-`-dire a = c. u a 144 ANNEXE A. CONIQUES Exercice A.8. a) Puisque Rθ est une matrice orthogonale, on a RT = R−1 . D´montrons l’affirmation par induction. Si e θ θ n = 2, on a ￿ ￿2 D2 = RT ARθ θ ￿ ￿￿ ￿ = R−1 ARθ R−1 ARθ θ θ = R−1 ARθ R−1 ARθ θ θ = R−1 AARθ = R−1 A2 Rθ . θ θ Supposons RT An Rθ = Dn vrai pour n et v´rifions

u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2 v b) Propriété: i) Si u Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs:

représentation vectorielle, on considère très souvent comme confondus l'origine O de l'espace et le centre de gravité g. Soit donc un axe ∆ passant par O. On appelle inertie par rapport à ∆ la quantité: Si nous appelons Proj∆(Xi) la projection orthogonale de Xi sur l'axe ∆, l'inertie pourra s'écrire: On appelle inertie expliquée par un axe ∆ passant par l'origine, la quantité : D'après le théorème de Pythagore on peut dire que: I(o) = I(∆) + IE(∆). L'inertie du nuage est la somme de l'inertie

est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour

2 n d2 (h∆i , xi ) i=1 (9) 100 où h∆i est la projection orthogonale de xi sur l’axe ∆. Cette inertie mesure la proximité du nuage des individus à l’axe. De même, l’inertie du nuage par rapport à un sous-espace vectoriel F passant par le centre de gravité g est 1 IF = n n d2 (hF i, xi ) i=1 (10) où hF i est la projection orthogonale de xi sur le sous-espace F . Soit F ⊥ le supplémentaire orthogonal de F dans Rp , alors d’après le théorème de Pythagore (cf. Figure 1 en dimension