Polynômes orthogonaux

scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs et sym´tries orthogonaux . . . . . . . . . . e 22.7 Espaces euclidiens orient´s. Produit mixte . . . . . . . e 22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . 22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . .

scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs et sym´tries orthogonaux . . . . . . . . . . e 22.7 Espaces euclidiens orient´s. Produit mixte . . . . . . . e 22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . 22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . .

composition o, forme un groupe appelé groupe linéaire. L'ensemble des applications pour lesquelles ad – bc = ± 1 en forme un sous–groupe. L'ensemble des applications orthogonales (rotations et symétries) forme un sous–groupe de ce sousgroupe appelé groupe orthogonal. L'ensemble des rotations forme lui–même un sous–groupe du groupe orthogonal. EXEMPLE 2 : l'ensemble des nombres pairs forme un sous–groupe de ( ,+). 4– Morphismes, Exemples Définition : Soit (G,*) et (G',#) deux groupes. On appelle morphisme

le faire. La démarche consiste à trouver les valeurs propres de cette matrice : 1. On calcule pour cela le polynôme caractéristique de cette matrice soit : det([L ] − λ [I ]) = 0 où la notation « det » désigne le déterminant, [I] représente la matrice 1 0 0 unité 3 sur 3, c’est à dire : [I ] = 0 1 0 et λ une valeur propre.     0 0 1  2. On cherche ensuite les racines de ce polynôme qui sont les valeurs propres. 3. La matrice diagonale est alors obtenue en rangeant les différentes valeurs

en fonction de x: L’ ensemble des valeurs E de y est donné par E = f4x + 1; x 2]1; 3]g : 19 20 M. El Hatri Interprétation géométrique d’ une fonction. Soit (Oxy) un système de coordonnées cartésiennes dans le plan formé par deux axes orthogonaux (Ox)et (Oy). Soit y = f (x) une fonction dé…nie dans D. On porte sur (Ox) les valeurs de la variable indépendante x 2 D, appelées abscisses, et sur l’ axe (Oy) les valeurs correspondantes y de la fonction f , appelées ordonnées. De cette manière

leurs extrémités. De plus K est dit positivement orienté si, pour chaque courbe γ composant le bord ∂ K de K lorsque l’on parcourt γ(t) dans le sens des t croissant on a à sa gauche les points intérieurs de K , c’est-à-dire si ∇γ est directement orthogonal à la normale sortante de∂ K . Avec cette définition, si ω est une 1-forme différentielle définie au voisinage d’un compact à bord orienté K dont le bord est la réunion (« disjointe ») des courbes lisses γi , 1 ≤ i ≤ k, on défini l’intégrale de ω

l’exercice 9 Calcul de racine n-ième. Soit z ∈ C tel que zn = 1, déjà |z|n = 1 et donc |z| = 1. Écrivons z = eiθ . L’équation devient 2kπ einθ = e0 = 1 ⇔ nθ = 0 + 2kπ, k ∈ Z ⇔ θ = , k ∈ Z. n Les solution sont donc 2ikπ S = e n , k∈Z . Comme le polynôme zn − 1 est de degré n il a au plus n racines. Nous choisissons pour représentants : S = e 2ikπ n , k = 0, . . . , n − 1 . 2iπ De plus si ε = e n alors S = ε k , k = 0, . . . , n − 1 . Ces racines sont les sommets d’un polygone régulier

En pratique, on ne revient jamais à cette définition pour montrer qu’un ensemble muni de deux lois est un espace vectoriel. Exemples Quelques exemples classiques d’espaces vectoriels (munis des lois usuelles) : n • , • [X ], l’ensemble des polynômes à coefficients dans et plus généralement ; • Mn,p ( ) l’ensemble des matrices à coefficients dans • ( , ) l’ensemble des fonctions définies sur ; de taille n × p ; et à valeurs dans ; • l’ensemble des suites à valeurs réelles ou complexes

n = m 0 1 1 L [x]0 − sin L (2n)π si n = m ce qui donne finalement : fn |fm = δnm (2.18) La base est bien orthonormée. Le côté normé n’est pas étonnant, c’est comme ça qu’on a choisi nos fonction fn . Par contre, le fait qu’elles soient orthogonales n’était pas évident a priori. On remarque que l’unicité de la décomposition sur la base vient de cette orthogonalité : si on trouve un développement sous la forme (2.11), on peut calculer : ∞ fn |F0 = m=1 am fn |fm (2.19) = an ce qui

tableau de dimension 2 !! Partant d'un point translaté d'une longueur donnée, on obtient un segment. Ce segment, translaté dans une direction orthogonale de la même longueur, donne un carré. Ce carré, translaté dans une troisième direction, orthogonale aux deux précédentes, donne un cube. Ce cube, translaté dans une quatrième direction, orthogonale aux trois précédentes, donne un hypercube. -2- D 3 C 3 D" C" B" C' D C B 3 A 3 A" D' A' B' A B Les objections relatives au fait