Polynômes orthogonaux

1752-1833 Adrien-Marie Legendre : Il fit d’importantes contributions à la statistique, à la théorie des nombres, aux algèbres abstraites et à l'analyse. Une grande partie de son travail fut perfectionné par d'autres : son travail sur les racines des polynômes inspira la théorie de Galois ; le travail de Abel sur les fonctions elliptiques fut construit sur celui de Legendre ; certains travaux de Gauss en statistique et en théorie des nombres complétèrent ceux de Legendre. Il écrit un traité d’artillerie

Octobre 2010 Page 51 Les codes de canalisation Les codes de canalisation codes d’étalement qui permettent de séparer les différents signaux issus de différents utilisateurs au sein d’une même cellule Ils sont fondés sur la technique q Orthogonal Variable Spreading Factor (OVSF), qui permet de modifier le facteur d’étalement et de maintenir l’orthogonalité l orthogonalité des codes mêmes s’ils sont de longueur différente s ils différente, (débits différents)!! Les Systèmes de 3G COM822

boucle « pour » ne démarre pas et S = 0. b. S5 = S4 + 5 · 2 4 = 129. n c. Sn +1 = Sn + ( n + 1) · 2 n et Sn = Âk 2k -1. k =1 d. S15 = 458 753. 2. 1 n + 1. 2 B. 1. Le graphique suggère que la fonction f cherchée est une fonction polynôme du second degré. 2. Les valeurs affichées semblent approchées à cause de la terminaison 6667 qui laissent penser que l’entier a cherché est 3. 3. a. Voir fichier sur le site Math’x. n2 - 1 b. Pour n entier ജ 1, v n = n2 - 1 et un = . 3 2

signal et de technologie des miroirs adaptatifs, on décompose la surface d’onde en modes, c’està-dire qu’on la projette sur une base orthonormée de fonctions. Les premiers modes sont un « piston », mode d’ordre zéro, constant, et deux basculements orthogonaux, modes d’ordre un : tip-tilt en anglais et tilts en jargon technique de l’astronomie. Le mode piston est indifférent et n’est pas corrigé. Les tilts représentent 90% de l’énergie de déformation. Les modes d’ordre compris entre 2 et une valeur maximale

DA × BC + DB × CA + DC × AB = 0, donc uuur uur DA × BC = 0, ce qui prouve que les arêtes [BC] et [AD] sont orthogonales. 3. a) L’algorithme permet de dire si quatre points non coplanaires forment un tétraèdre uuur uur orthocentrique uur uuur ou non. La condition testée est DC × AB = 0 et DB × CA = 0. Or d’après la question 2., ceci implique que les arêtes opposées du tétraèdre sont orthogonales deux à deux. La condition testée suffit donc pour prouver qu’un tétraèdre est orthocentrique ou non. b) On

facteur 1 × facteur 2 » et chacun d’eux représente une expérience. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Espace expérimental Figure 1.2 – Chaque facteur est représenté par un axe gradué et orienté. Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux. L’espace ainsi défini est l’espace expérimental. 5 1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences 1.3 Terminologie S’il y a un troisième facteur, on le représente aussi par un axe orienté et gradué, et on le positionne

Extraction de sous matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.4 Op´eration ´el´ement par ´el´ement (ou vectorisation). . . . . . 19 1.5.5 Fonctions compl´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.6 Moindres carr´es et projections orthogonales. . . . . . . . . 22 1.5.7 Valeurs propres et exponentielle de Matrice. . . . . . . . . 24 1.6 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.1 Ce qu’il faut savoir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Narration de recherche P(x) . f(x) est le quotient de deux polynômes : f(x) = Q(x) La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à #f donc lim f(x) = 0 soit deg P < deg Q. © Nathan 2012 – Transmath Term. S x → ∞ La droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à #f donc lim Q(x) = 0, soit Q(0) = 0. x → 0 Il en résulte que le terme constant de Q est nul : on peut mettre x en facteur. Q(x) = x Q1(x), où Q1 est un polynôme (avec degré de Q1 = (degré de Q) – 1). De plus, f n’est

47 niveau des prix, on a alors : ¤ £ 2 F − (2 + κ) F + 1 Lpt = −κmt (1.62) La résolution de cette équation quadratique nous permet à nouveau de pouvoir écrire les deux racines comme égales à θ1 et 1/θ1 où θ1 est la racine stable du polynôme (|θ1 | ≺ 1). Par identification des coeficients, on a ensuite : (1 − θ1 )2 κ= θ1 (1.63) La factorisation nous permet ensuite d’obtenir : µ ¶ 1 (1 − θ1 )2 mt (1 − θ1 L) 1 − L pt = − θ1 θ1 (1.64) ¶ µ 1 (1 − θ1 )2 Lpt = −

. 523 Optimalité et orthogonalité ................................... 525 Plans pour facteurs quantitatifs et modèle linéaire du premier degré ....... 525 21.2.1 Le cas de la régression simple ................................. 526 21.2.2 Plans orthogonaux pour p facleurs ............................. 526 21.2.2.1 Le plan factoriel complet ............................ 526 21.2.2.2 Plans fractionnaires de type 211 '1;. el plans de Plackett et Burman ............................... 528 21.2.3 Exemple