Polynômes orthogonaux

faciliter la compréhension d’un concept en l’illustrant graphiquement et numériquement, sans être limité par d’éventuelles difficultés techniques. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence Fonctions affines. Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e. Fonction racine carrée. Fonctions sinus et cosinus. • Représenter une fonction de référence et exploiter cette courbe pour retrouver des propriétés de la fonction. En fonction

sur [−5 ; 7] : c’est son ensemble de définition. Pourtant sans cette précision dans l’énoncé, on aurait pu calculer f (x) pour n’importe quelle valeur réelle de x. 1.4 Représentation graphique Dans cette partie, nous utiliserons un repère orthogonal du plan. Vous en avez déjà entendu parler depuis la cinquième 2 , nous reviendrons un peu plus en détail sur le repérage au cours du chapitre 2. On a vu dans l’exemple 1.3 qu’on peut définir une fonction à partir d’un graphique : à chaque abscisse

peut pas se trouver à 9 mètres de hauteur. 5 CHAP01.indd 5 21/06/11 11:44 6. Travaux pratiques 33    1) a) b) Lorsque M est au sommet (6 ; 128) de 3 il semblerait que S(a) soit maximale. 2. a) S(a) = AB × MH où H est le projeté orthogonal de 2 M sur l’axe des abscisses. AB = 8 et MH = f (a) S(a) = 4 f (a). b) f (a) = – 2 (a – 6)2 + 32. Le maximum de f est 32 obtenu pour a = 6 donc le maximum de S est obtenu pour a = 6 et vaut 4 × 32 = 128. M est donc au sommet de 3. c) L’aire

+ 2x2 + x = – 3; x x –∞ – – + 0 –3 0 + – – 0 0 3 2 +∞ + + + 0 équivaut à x(x + 1)2 –∞ – 2 2 0. +∞ + + + –1 – 0 0 + – 0 0 0 b) L’aire de ABCD est supérieure à 10 cm2 pour 2 BC 6. 2. a) BC = a et a ∈ [0 ; 6] b) On note H le projeté orthogonal de A sur (DC). (x + 1) + – x(x + 1) = [0 ; + ∞[. 7 1. 2. f(x) = g(x) équivaut à x2 – 4x + 2x + 1 = 0, soit encore (x + 1)2 = 0. Cette équation a une seule solution x = 1. 3. a) Graphiquement, la courbe de g est toujours en dessous

théorique est postulé a priori. Il s'agit d'un modèle polynomial. y = a 0 + a1 ⋅ x 1 + a 2 ⋅ x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n ⋅ x n + n ∑ aij ⋅ x i ⋅ x j + i, j =1 i ≠ j n ∑ aijk ⋅ x i ⋅ x j ⋅ x k + ⋅ ⋅ ⋅ i, j,k =1 i ≠ j ≠ k où a0, a1 … sont les coefficients du polynôme. Les termes produits de type par exemple a ij ⋅ x i ⋅ x j correspondent aux interactions. Pour un plan factoriel à 3 facteurs x1, x2 et x3, on obtient : y = a 0 + a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 + a 3 ⋅ x 3 + a12 ⋅ x1 ⋅ x 2 + a13 ⋅ x1 ⋅ x 3 + a 23 ⋅ x 2 ⋅ x

Interférences lumineuses TP 17 Graphisme 3D polyèdre TP 18 Percolation TP 19 Motifs de Serpinski TP 20 Courbes fractales TP 21 Su Doku TP 22 Algorithmique - Graphisme 2D TP 23 Manipulation de chaînes de caractères TP 24 Algorithme de Schmidt - Projection orthogonale Page 2 5 8 11 14 15 18 20 22 25 29 32 33 36 37 38 40 42 44 45 48 51 53 56 Epreuves Session intermédiaire n°1 - octobre 2005 Session intermédiaire n°2 - janvier 2006 Session intermédiaire n°3 - mars 2006 Session de fin d’année - juin 2006 Session

– Transformation en binaire > Age>40 c’est une variable qui prend la valeur 0 si Age< 40 et 1 sinon. – Transformation en facteur > cut(Age,3) découpe de la variable Age en 3 intervalle de longueur égale (ou presque) – Transformation en polynôme orthogonaux : > poly(Age,degree=3) 18.3 Formules sous R, transformation et protection Transformation et protection certains signes (*, ^, /) possèdent des valeurs différentes dans une formule et dans un calcul arithmétique. Pour revenir à une

+∞ + + – 0 + – 0 + ΅ 3 . 2 b) x3 + 2x2 + x у 0 équivaut à x(x + 1)2 у 0. ᏿ = – 3; x –∞ x b) L’aire de ABCD est supérieure à 10 cm2 pour 2 р BC р 6. 2. a) BC = a et a ∈ [0 ; 6] b) On note H le projeté orthogonal de A sur (DC). (x + 1) –1 – 2 x(x + 1) 2 0 – + 0 + – 0 – 0 +∞ + + 0 + ᏿ = [0 ; + ∞[. 7 1. 2. f(x) = g(x) équivaut à x2 – 4x + 2x + 1 = 0, soit encore (x + 1)2 = 0. Cette équation a

cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O. On note x son affixe. On choisit a de manière que A soit un point de C différent de I et de O. Montrer que le point M appartient la droite (OA). En déduire que M est le projet orthogonal de M sur cette droite. Nombres complexes 24 Baccalauréat S 22. France septembre 2003 → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, ı ,  . On considère les points A et Ω d’affixes respectives : a = −1 + 3 +

Récurrences simples . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Manipulation de séquences . . . . . . . . . . . 6.3 argv et eval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Polygones réguliers avec le module turtle . . . 6.5 Création d’un module de gestion de polynômes 6.6 Tableaux à plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 59 62 63 64 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .