Polynômes orthogonaux

représente la pulsation propre complexes du mode ν. Un système mécanique étant généralement amorti. On écrit s sous la forme : s% = −a% ω% + jω% Les s% sont solutions de : Det M s% + B s% + K = 0 (13) L’équation caractéristique (13) est un polynôme de degré 2n en sν. Elle admet donc 2n valeurs propres sν. Dans l’hypothèse où tous les modes de la structure ont un amortissement inférieur à l’amortissement critique, les 2n solutions propres sν sont complexes et elles apparaissent par paires

1-1 : Comme une interro… 1-2 : Lecture graphique et interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle 2 (c) 3-18 :

interro… 1-2 : Lecture graphique et interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3 ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle

Raisonnement par récurrence 2 1. Rappeler la valeur de Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n . 2. On appelle Sn′ la somme Sn′ = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n( n + 1) . a. Montrer par récurrence que pour tout n on a Sn ' = n(n + 1)(n + 2) . 3 b. On cherche un polynôme P tel que P ( x + 1 ) − P ( x ) = x ( x + 1 ) : montrez que P est de degré 3. Trouvez P. c. En sommant sur toutes les valeurs entières de x depuis 1 jusqu’à n, vérifiez que S 'n = P ( n + 1 ) − P ( 1 ) . Retrouvez la formule du a. n d. Vérifiez

x2 + 2(4 + m) x ― 4 ― m = 0, sin3u ― (4 + m) sin2u + 2(4 + m) sin u ― 4 ― m = 0 . (inconnue u telle que: ― π ≤ u < + π ) EXERCICE 116 Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x) = x + | 4x2 ― 1 | . Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1°) Etudier la continuité de f . 2°) Etudier la dérivabilité de f . Calculer sa dérivée sur chaque intervalle où f est dérivable . 3°) Démontrer les équivalences : 1 1 1 4x2 ― 1 + 4x < 0 ⇔ x ∈ ] ― ∞ ; ― 2 ] et 1 ― 4x2 ― 4x > 0 ⇔ x ∈ ] ― 2 ; ].

(θ)(t − θ)n−1 dθ. (1.82) 0 Si on note Hn la fonction t → H(t)t , la primitive d’ordre n de f s’écrit Hn ∗ f . Γ(n) Ces considérations se généralisent également à l’obtention de la dérivée et la primitive d’ordre α avec α complexe. Convolution de polynômes-exponentiels : Toujours dans le cas de fonctions sommables f1 et f2 , le produit de convolution de deux distributions s’identifie au produit usuel de deux fonctions. En particulier, si elles appartiennent à D+ , nous aurons : t h(t) = (f1 ∗ f2

méthode permet de découvrir la forme de la relation entre les données en utilisant les données elle-même. Cleveland (1979)[5] a proposé l’algorithme LOWESS (Locally Weited Scatter Plot Smoothing). L’idée de base est d’effectuer un lissage par des polynômes locaux (une régression du type k − N N ) ajustés par les moindres carrés. Ensuite on utilise des méthodes robustes pour obtenir la forme finale. Plus précisément, on effectue d’abord une régression polynomiale dans un voisinage de x, c’est-à-dire trouver

calcul de limites, on a une « forme indéterminée » lorsque l’on ne peut pas conclure directement. Pour « lever » cette indétermination, il faut transformer l’écriture de la fonction : • soit en factorisant par le terme dominant (cas des fonctions polynômes et rationnelles en + ∞ ou – ∞) ; • soit en utilisant la quantité conjuguée (cas des fonctions racines carrées) ; • soit en revenant à la définition du nombre dérivé (cas des fonctions sous la forme d’un taux d’accroissement). ASYMPTOTE • Si lim

y) ∈ Ê2 } et celle-ci est invariante par toute rotation d’axe (Oz) (cf. par exemple le paraboloïde vu précédemment). Coordonnées cylindriques − − − → → → Soit M = (x, y, z) dans un repère orthonormé (O, i , j , k ) et PM = (x, y, 0) son projeté orthogonal sur le plan de base (Oxy). Les coordonnées cylindriques de M sont définies à partir des coordonnées polaires de PM dans le plan (Oxy) (figure 1.5) : ϕ: {(0, 0, 0)} ∪ Ê∗ × [0, 2π[×Ê → Ê3 + (ρ, θ, z) → (x, y, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) Variables multiples

(λi − a) et ∆n (−b) = i=1 (λi − b) Exercice 15 : [énoncé] a) t AA = diag(δ, δ, δ, δ) avec δ = a2 + b2 + c2 + d2 . Par suite det A = ±(a2 + b2 + c2 + d2 )2 . Or b, c, d fixés, par développement de déterminant, l’expression de det A est un polynôme en a unitaire de degré 4 donc det A = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 b) Avec des notations immédiates : AA = A avec :   a = aa − bb − cc − dd    b = ab + b a + cd − dc  c = ac − bd + ca + db    d = ad + bc − cb + da Par égalité des déterminants et