Polynômes orthogonaux

un + 1 < un pour tout n ʦ ‫.ގ‬ (un) est décroissante. d. (u n) est décroissante et minorée donc (u n) converge. 2. a. Voir fichiers logiciels. b. un < 1,000 3 pour n ⩾ 8. Un < 1,000 05 pour n ⩾ 9. 62 a. Pn est dérivable sur en tant que polynôme. Pn’(x) = nxn – 1 + (n – 1)xn – 2 + … + 2x + 1. Pn’(x) > 0 pour tout x ʦ ‫ +ޒ‬et n ⩾ 2. Donc Pn est strictement croissante sur ‫ +ޒ‬pour tout n ⩾ 2. b. ‫+ޒ‬ x 0 1 n–1 Pn –1 Pn est continue et strictement croissante sur [0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence . . 5.4.3 inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) . . . . . . 5.4.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Changement du signe du coefficient b1 , changement de z en -z . . . . . 5.5 Cellule IIR d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . .

uniforme, parties compactes. c) Espaces préhilbertiens réels ou complexes. Produit scalaire, inégalité de CauchySchwarz, norme. Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d’une base orthonormale dans un espace de dimension finie. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. 2. fonctions d’une variabLe réeLLe, caLcuL différentieL et intégraL Les fonctions étudiées sont définies sur un intervalle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie sur R et sur C. a) dérivation

si (a, b) = (0, 0), l’ensemble des vecteurs v = (x, y) de R 2 tels que e ax + by = 0 est la droite (vectorielle) de R 2 orthogonale au vecteur u = (a, b). ´ 2. Equation d’un plan de R3 : Soit (a, b, c) un triplet non nul (i.e distinct de (0, 0, 0)) de R 3 . L’ensemble des vecteurs v = (x, y, z) de R3 tels que ax + by + cz = 0 est un plan (vectoriel) de R3 . C’est le plan orthogonal au vecteur u = (a, b, c). ´ 3. Equation d’un hyperplan de Rn : Plus g´n´ralement, si (a1 , · · · , an ) est un n-uplet

< ?(?) alors ∫ ? ( ?) ?? < ∫ ?( ?) ?? III. Le développement limité * Le développement limité consiste à approximer une fonction en un point par un polynôme mettant en jeu les dérivées au même point de la fonction à approximer. On  parle  de  développement  limité  d’ordre  n  lorsque  la  fonction  est  approximée  par  un  polynôme  de degré n. On définit, au voisinage de a : ?( ?) ≈ ?( ?) + ( ? − ?). ? ( ?) + ( ? − ?) ? . ? ( ?) ? ? ( ?) ( ? − ?) ? . +⋯+ ?! ?! Remarques

l’hypersurface . L’hyperplan vectoriel tangent TM ( ) est égal au noyau de dfM où f est tel que =f 1 f0g @f @f (M ) ; ::; (M ) @x1 @xn en M, ou rf (M détermine la direction normale à [rf (M )]? = ker dfM = TM ( ) )où rf (M ) = On dit que : rf (M est orthogonal à en M Les graphes d’applications de Rn dans R constituent un cas particulier d’hypersurfaces de Rn+1 que l’on peut reconnaissables à une condition sur leurs directions normales Plus precisement, fUne hypersurface dont la direction normale en

forme plus commune suivante: u·(v+w)= u·v+ u·w, (u+v)·w= u·w+ v·w, u·(k v)= (k u)·v= k u·v; u·v= v·u, symétrie ; définition positive. u·u> 0 ∀ u ∈ V, u·u=0 ⇔ u= o, bilinéarité ; Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v= 0. On prouve facilement que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. On sait de l'algèbre que l’on peut définir plusieurs normes pour un vecteur, et que dans un espace à dimension finie elles sont toutes équivalentes. Nous prendrons comme norme d’un vecteur

: x ′ = (x + y) et y ′ = (x + y). 2 2 En déduire que le point M ′ appartient à la droite (O A). b. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M = M ′ . −−−→ −−→ c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs M M ′ et O A sont orthogonaux. π 2. Soit r la rotation de centre O et d’angle . M1 est le point d’affixe z1 image de M par r , M2 le point d’affixe 2 ¯ M3 le point d’affixe z3 tel que le quadrilatère OM1 M3 M2 soit un parallélogramme. z2 = z, a. Dans cette question uniquement

u 0 = −2, la suite (un ) n’est pas définie et, dans le cas où u 0 = −3, la suite (un ) est constante et donc, convergente vers −3. Les résultats démontrés confirment donc les conjectures émises précédemment. Exercice III ᕡ La fonction f est un polynôme donc f est dérivable sur » et pour tout x ∈», on a f '( x ) = 1, 6 − 1, 6 × 2x = 1, 6(1− 2x ). Par suite, f ' (x ) est du signe de 1− 2x   1 1 d’où f ' (x ) ≥ 0 sur  −∞  ;  et f ' (x ) ≤ 0 sur  ; + ∞   . La fonction f est donc 2   2

produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs et sym´tries orthogonaux . . . . . . . . . . e e 22.7 Espaces euclidiens orient´s. Produit mixte . . . . . . . 22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . 22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . 23 Fonctions de deux variables 23.1 Continuit´