Polynômes orthogonaux

en D donc AB2 = AD2 + DB2 et CE2 = CD2 + DE2 par le théorème de Pythagore. b. AB2 + CE2 = (AD2 + DE2) + (CD2 + DB2) donc AB2 + CE2 = AE2 + BC2 par le théorème de Pythagore. c. AE2 = y2 ; BC2 = x2 ; CE2 = 16 + (y – x)2 (on peut tracer le projeté orthogonal H de C sur (AE) et raisonner dans le triangle CHE ou introduire un repère orthonormé). Donc 16 + 16 + (y – x)2 = y2 + x2 soit 32 – 2xy = 0 ou 16 y = pour x > 0. x 16 pour x > 0. La fonction f est 3. On a donc f (x) = x strictement décroissante sur

pas d’une norme (exercice ??). (GT) Le groupe (Rn , +), le groupe général linéaire GL(n, C) et ses sousgroupes Sl(n, R), O(n),... sont des groupes topologiques (exercice ??). (AT) Les anneaux de matrices M (n, R) et les anneaux de polynômes R[x]/(p) pour p un polynôme non-nul sont des anneaux topologiques (exercice ??). (CT) K = R, C, Q ou tout corps compris entre Q et C avec la topologie induite par C fournit un exemple de corps topologique. Nous allons évoquer quelques aspects simples des e.v.t

Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 5 C H A P I T R E Second degré 1. Programme officiel Contenus Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Capacités attendues ◗ Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole

6374 4 19 Page 20 sur 130 Appuyer sur la touche N du pavé numérique pour obtenir la valeur exacte de la seconde solution. Seconde solution : −5 − 57 x2 = x 2 ≈ −3,137 4 Appuyer sur REPT à l’aide de la touche q pour revenir au menu Polynômes. Appuyer sur CLR à l’aide de la touche e pour effacer les coefficients préalablement saisis. Page 20 sur 130 21 C. Equations du second degré – Solutions complexes Application : Résoudre dans ℂ l’équation suivante : 3x 2 + 2x + 4 =

(y)) = λd(x, y), o` u λ ∈ R∗+ est une constante qui s’appelle le rapport de la similitude f . Une similitude de rapport 1 s’appelle une isom´etrie. Exemples : une translation, une rotation (autour d’un point selon un angle donn´e), une sym´etrie (orthogonale par rapport ` a une droite), une homoth´etie sont des similitudes ; ce sont des isom´etries sauf les derni`eres. Les figures suivantes sont semblables deux ` a deux (il existe une similitude du plan qui transforme l’un en l’autre). Remarque : l’ensemble

résonateurs couplés 11 La fonction de transfert d’un filtre passif peut être vue comme un rapport de polynôme : a + a1 p + a 2 p 2 +...a m p m H (p) = 0 b0 + b1 p +...+ bn p n ou encore : H ( p) = ∏ (p − z ) i m ∏ (p − p ) i i =1 i =1 n (8) 1 + D( p ) D(p) est appelé fonction discriminante du filtre. Le type de la fonction de transfert est déterminé par le type de polynôme utilisé pour D(p). En revanche, l’obtention d’un passebande, stop-bande ou passe-haut est réalisée

.... Fiche 5 Fonctions affines ...................................................................................... Fiche 6 Transformations d’expressions algébriques .......................................... Fiche 7 Fonction carré et fonction polynôme de degré 2 .................................. Fiche 8 Fonction inverse et fonction homographique ........................................ Fiche 9 Résolution algébrique d’équations......................................................... Fiche 10

Pythagore. b. AB2 + CE2 = (AD2 + DE2) + (CD2 + DB2) donc de signes opposés. AB2 + CE2 = AE2 + BC2 par le théorème de Pythagore. Donc pour tous a et b réels, |ab| = |a| ¥ |b|. c. AE2 = y2 ; BC2 = x2 ; CE2 = 16 + (y – x)2 (on peut tracer le projeté orthogonal H de C sur (AE) et raisonner dans le triangle CHE ou introduire un repère orthonormé). 2. Même principe. 46 a. Strictement croissante sur [0 ; + ∞[. b. et c. Strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + ∞[. d. Strictement

b) f est continue sur R, elle l'est donc sur [xo , yo]. e t f (xO). f (Y,) < 0 Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires : 3 y lxo >YO [ tel que f ( ) = 0. Y c) Si f est une fonction polynôme de degré impair, elle vérifie les hypothèses de l'enoncé donc appliquer a) et b) et conclure : Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Démontrer que l'équation (E) admet au moins une solution réelle. (El - COS X 1 1 2 - - (x + 1) 2 =O Solution Posons

une seule solution du problème posé et en donner l’expression. Partie B : I Soit f la fonction définie sur ] +∞[ par 1) a ) Etudier les variations de f. b ) Déterminer → = − − c ) Déterminer →+∞ 2 ) Construire dans un repère orthogonal (unités: 10 cm en abscisses, 5 cm en ordonnées), la courbe représentative C de f sur l’intervalle ] ] 3 ) Soit λ un réel strictement positif a ) A l’aide d’une intégration par parties calculer : 7 EAMAC/DE/BS λ b ) En déduire λ =