Polynômes orthogonaux

Caractéristiques marginales et conditionnelles. 3.4. Régression et corrélation. 3.4.1 Régression et corrélation. 3.4.2 Méthode des moindres carrés. 4. Régression orthogonale dans R². 4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux

Caractéristiques marginales et conditionnelles. 3.4. Régression et corrélation. 3.4.1 Régression et corrélation. 3.4.2 Méthode des moindres carrés. 4. Régression orthogonale dans R². 4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux

vectoriels de dimension finie , f une application continue de E dans F , A une partie connexe par arcs dans E , alors f(A) est une partie connexe par arcs dans F Conséquence : le théorème des valeurs intermédiaires Exo : L’ensemble des matrices orthogonales est il une partie connexe par arc ? VII ) Exemples d’étude de suites réelles ou complexes : 1°) Suite récurrente : On considère une fonction f de la variable réelle ,I un intervalle stable de f , on construit alors la suite u n  par

possède une unique solution dans ℂ a) vrai b) faux 9) L’équation z 2 − z + 4 = 0 ne possède pas de solution dans ℝ a) vrai b) faux 10) Les solutions dans ℂ de l’équation z 2 + 9 = 0 sont : a) 3i 2 et − 3i 2 b) –3 et 3 c) –3i et 3i 4 3 2 11) Soit le polynôme P( z ) = z − 6 z + 24 z − 18 z + 63 . Alors −i 3 est une solution de l’équation P(z)=0. a) vrai b) faux 12) Les solutions de l’équation z 3 + z = 0 sont : a) 0 ;-1 et 1 b) 0 ; -i et i c) 0 d) ∅ 13) Soient A et B les points d’affixes respectives –1+i

OPQ le théorème de Pythagore permet de trouver : PQ = et OI = PI - PO = PQ - = . I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l'égalité des produits scalaires : .=.= 1  OI = . Ce produit scalaire s'exprime en fonction de l'angle des vecteurs : .= OA  OB cos(AÔB) = 1  1  cos(AÔB), donc cos(AÔB) = ; AÔB = . De même OJ = OP + PJ = + PQ = . J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a : .=.= -1  OJ = , et en fonction de l'angle des vecteurs : .= OA  OC cos(AÔC) = 1  1  cos(AÔC)

pts 1. 20. 4ème degré, tr. équilatéral, Am. du Nord 2001 1. 21. 2nd degré et barycentre, France 2004 - 5 pts 1. 22. 3ème degré, losange, N. Calédonie 2002 1. 23. Système, Losange et rotation, Polynésie 2002 1. 24. 2nd degré 1. 25. 2nd degré 1. 26. Polynôme 1. 27. Interprétation géométrique 1. 28. Interp. géom, Am. Nord 06/2008, 5 pts 1. 29. Homographie+ROC, Am. Nord 2006 - 5 pts 1. 30. Homographie 1. 31. Homographie, Polynésie 2006 1 2 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 11 12 14 16 18 18 19 20 20 22 22 24 24 25

intervalle I et k un réel. Somme (u + v )' = u '+ v ' Produit d’une fonction par un réel (ku )' = k u ' Produit (uv )' = u 'v + uv ' Carré (u 2 ) = 2uu ' ' Séquence 2 – MA01 3 © Cned - Académie en ligne Exercice On considère les fonctions polynômes f , g , h définies pour tout réel x par : • f ( x ) = −2x 3 + 0, 5x 2 + 6 x − 3      • g ( x ) = 23 − 2x + 3x 2 1 2 4 • h ( x ) = x 4 − x 3 + x 2. 3 3 3 Déterminer les fonctions dérivées des trois fonctions f, g et h. ̈ Solution Pour tout x réel

....... 185 CHAPITRE 1 Le second degré A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de

telle que est nul. Dans le cas où résolution consiste d'abord à étudier le polynôme du second degré réelles ou complexes, éventuellement confondues. L'équation retenir est le suivant : est appelée équation caractéristique de . Dans le la méthode de qui admet toujours deux racines . Le résultat à ) Les solutions de cette équation différentielle sont données en Proposition 3.1.4 (équation fonction des racines du polynôme Si les racines de la forme : est une fonction pour tout paragraphe précédent

ensemble dans le même sens ou en sens opposé ? 3. En supposant que le modèle théorique propose une relation entre deux variables X et Y exprimée au moyen d’une fonction appartenant à une classe donnée (p. ex. fonctions linéaires, log-linéaires, polynômes, etc), la classe proposée est-elle la bonne ? 4. En supposant que ce soit le cas, autrement dit s’il existe un élément dans la classe de fonctions qui permet d’exprimer la relation existant réellement entre X et Y , quel est cet élément ? Si par