Polynômes orthogonaux

trigonalisable dans une base indépendante de t, une fois effectué le changement de base. Cela s'applique en particulier lorsque A est une matrice constante : EXEMPLES :  x' = 7x + 10y u Résoudre  y' = –3x – 4y 7 10 La matrice A vaut  –3 –4  de polynôme caractéristique λ2 – 3λ + 2 = 0 d'où λ = 1 ou 2. Pour     5 λ = 1, un vecteur propre est donné par  –3 , alors que pour λ = 2, un vecteur propre est donné par      2 . On prend donc D =  1 0  avec P =  5 2 . On a A = PDP–1.  –1 

Seconde permettent d’avoir une première réponse à cette question. Travaux Pratiques TP 1 Allers et retours O b j e c t i f : faire le lien entre les résultats algébriques sur le second degré et la représentation graphique des fonctions polynômes de degré 2. Dans la partie A , on résout un certain nombre d’équations et d’inéquations, en interprétant graphiquement les résultats. Dans la partie B , on construit deux familles de paraboles (chacune ayant un coefficient que l’on peut modifier)

satisfaire ρi(i′c) = 0c = 0. Si le vecteur caractéristique n’est pas une colonne de « 0 », la seule façon d’obtenir une inégalité est d’égaliser i′c à zéro. Par conséquent, pour les n – 1 vecteurs caractéristiques restants, on peut utiliser des vecteurs orthogonaux dont les éléments ont une somme nulle et dont les produits sont égaux à un. Il y a un nombre infini de tels vecteurs. Par exemple, on pose D un ensemble arbitraire de n – 1 vecteurs contenant n éléments. On transforme les colonnes de D en déviations

représentative de la fonction carré dans un repère orthogonal. ᕡ Déterminer le(s) point(s) où la tangente (T) à la courbe (C) est parallèle à la droite (D) d’équation y = 4 x + 5. ᕢ Même question avec la droite (∆) d’équation y = − x + 3. ᕣ Faire une figure où l’on placera la courbe (C), les droites (D) et ( ∆ ), et les tangentes trouvées aux questions précédentes. Exercice 11 Soit (C) la courbe représentative de la fonction inverse dans un repère orthogonal. ᕡ Déterminer le(s) point(s) où la tangente

t E(X t) m t Z 2. V(X t 〈t Z 3. COV (Xt Xt+h )=E[(Xt -m) (Xt+h –m)]h) t,h)Z2 -Propositions: * Un processus vectoriel {Xt, t Z}, de dimension (k,1) , est stationnaire si et seulement si les racines du déterminant du polynôme matriciel L , notée ii[1,k], sont toutes supérieures à l’unité en module. * Un processus vectoriel {Xt, t Z}, de dimension (k,1) , est stationnaire si et seulement si les valeurs propres de l’application linéaire Φ (L), notéesii[1

à 0 et si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • f est impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = − f (x) pour tout x ∈ D f . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine. 2-2 Axe et centre de symétrie • C f admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ± h ∈ D f , f (a + h) = f (a − h). • C f admet

étudiées en Seconde permettent d’avoir une première réponse à cette question. Travaux Pratiques TP 1 Allers et retours O b j e c t i f : faire le lien entre les résultats algébriques sur le second degré et la représentation graphique des fonctions polynômes de degré 2. Dans la partie A , on résout un certain nombre d’équations et d’inéquations, en interprétant graphiquement les résultats. Dans la partie B , on construit deux familles de paraboles (chacune ayant un coefficient que l’on peut modifier)

représentation paramétrique :   x = t +2 y = −2t .  z = 3t − 1 − Un vecteur normal au plan d’équation cartésienne x +2y + z −3 = 0 est le vecteur →(1; 2; 1). n → − Un vecteur directeur de cette droite est d (1; −2; 3). Si ces deux vecteurs sont orthogonaux, alors le plan d’équation cartésienne x + 2y + z − 3 = 0 sera parallèle à cette droite. → · → = 1 − 4 + 3 = 0 =⇒ →⊥→. − − − − n d n d Donc cette première proposition est vraie. 2. Le système formé par les équations des trois plans :   x − 2y +

Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 29 31 32 42 47 53 56 61 61 66 71 76 82 85 85 87 98 104 107 109 109 Analyse 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions

de tangentes (à des courbes que l'on précisera) · Comparer sur , e x et x 2 . Puis e x et x 3 . (1) ® ® En effet, le milieu du segment [MM'] est bien sur D et d'autre part les vecteurs MM ¢ (y - x ; x - y) et u (1 ; 1) sont bien orthogonaux. Fonctions exponentielles et logarithmes Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 1.4. Théorème Autres limites avec des exponentielles · Pour tout n Î * : ex = +¥ xn lim x ® +¥ lim x n e x = 0 x ® -¥ · En particulier