Polynômes orthogonaux

v2 ) de R2 est le réel : u · v = u1 v1 + u2 v2 . De même, le produit scalaire de deux vecteurs u = (u1 , u2 , u3 ) et v = (v1 , v2 , v3 ) de R3 est le réel : u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. √ Définition 1.5 La norme euclidienne d’un vecteur u de R2 ou R3 est le réel positif ou nul u = u · u. √ On appelle vecteur unitaire un vecteur u dont la norme est égale à 1 : u = u · u = 1. Si u et v sont deux vecteurs unitaires, alors

des suites se prête tout particulièrement à la mise en place d’activités algorithmiques. CONTENUS Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. Étude de fonctions Fonctions de référence CAPACITÉS ATTENDUES Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. COMMENTAIRES On fait le lien avec les représentations

calcule ∆ = 4 − 8 = −4 = (2i )2 . On obtient donc les solutions complexes suivantes : 2 + 2i 2 − 2i z1 = = 1 + i et z2 = = 1−i 2 2 3.2 Application aux équations de degré supérieur Théorème 3 : Tout polynôme de degré n dans C admet n racines distinctes ou confondues. Si a est une racine alors le polynôme peut se factoriser par (z − a) Exemple : Soit l’équation dans C suivante : z3 − (4 + i )z2 + (13 + 4i )z − 13i = 0 PAUL M ILAN 8 T ERMINALE S 1) Montrer que i est solution de l’équation 2)

10 et g(2) = 22 − 3(2) = 4 − 6 = −2 Comme g(−2) , g(2), la fonction g n’est pas paire. D’autres fonctions que l’on a pas encore vues sont paires. C’est par exemple le cas de la fonction cos x Les fonctions paires doivent leur nom au fait que les polynômes composés uniquement de puissances paires possèdent cette propriété. Propriété 1 La courbe représentative C f d’une fonction fonction paire f est symé- trique par rapport à l’axe des ordonnée.   6 février 2010  1.2 É   

résoudre des équations différentielles. Résumé Les fonctions usuelles de l’analyse TTP Propriétés de limites ex −1 =1 0 x 2°/ lim x ae x = 0 pour tout réel a > 0 1°/ lim −∞ ex 3°/ lim a = ∞ pour tout r éel a > 0 ∞ x ex 4°/ lim = ∞ pour tout polynôme P à coefficients r éels ∞ P (x ) C) Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques 1°/ Si l'on restreint la fonction sinus à l'intervalle LM −π , π OP , on obtient une bijection N 2 2Q entre cet intervalle et −1 , 1 , la fonction réciproque

par des nombres donnés et en effectuant les opérations indiquées. Exemple 2 a + b) La valeur numérique de 3a + 5 ( pour a = 3 et b = 2 est 50,6666... 3 € 19 Parmi les expressions algébriques, nous distinguons les monômes et les polynômes. A. Les monômes Un monôme est un produit de facteurs numériques (le coefficient) et littéraux (la partie littérale). Exemple 3 3 − a 2b est un monôme dont le coefficient est − 4 4 et la partie littérale a 2b €Le degré d'un monôme

Indice Maths 1re S, Bordas, 2011. [5] Beltramone, Jean-Paul, Déclic Mathématiques 1re S, Hachette Éducation, 2011. [6] Le Yaouanq, Marie-Hélène, Math’x 1re S, Didier, 2011. TABLE DES MATIÈRES 1 Le second degré - Équations et inéquations I Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . .

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

a. Par ailleurs, lorsque le signe du reste n’est pas évident, on peut aussi étudier les variations de f(x) – P(x), où P(x) = est le polynôme de Taylor de f en a. Encadrements tayloriens classiques Exponentielle. Sur R+, exp x est supérieur à tous ses polynômes de Taylor. Sur R, exp x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs. (1) x  0 1 + + + ... +  exp x (2) x  0 1 + + + ... +  exp x

1 ce que –1 est à –1, et 1 est à –1 ce que –1 est à 1. Il se demande alors quelle quantité x vérifiera 1 : x :: x : –1, à savoir, 1 est à x ce que x est à –1. Il a l'idée de se placer dans le plan et de voir que la quantité x est celle qui est orthogonale à la droite définissant 1 et –1. x joue évidemment ici le rôle du complexe ± i. Il propose d'abandonner le qualificatif d'imaginaire, et de qualifier x de quantités médianes. Mais les mémoires de ces deux auteurs resteront confidentiels. Celui de