Espaces vectoriels normés

I ) Normes :

1°) Définition :

Def : Soit E un K espace vectoriel , on appelle norme sur E toute application de E dans IR+ qui vérifie : N (x)  0  x  0 ( séparation ) x  E,   K : N  x   N x      x, y  E 2 , N x  y  N x  N y       
Un espace vectoriel muni d’une norme est appeléespace vectoriel normé
Généralement , s’il n’y a pas de confusion possibleon note : N (x )  x
Sur ℝ ou C : N (x )  x
Prop :  x, y  E 2 , N x  N y  N x  y
       
Prop : Si x , x x , y est un produit scalaire sur E , on définit la norme associée par x
Ex : Soit E  ℝ2 , et pour tout x  a , b , N x  a 2  2ab  5b2 , montrer que N définit     une norme sur E
2°) Notion de distance :
Si N est une norme sur E , on définit d de E  E sur ℝ par d x , y  N x  y , d est alors     la distance associéeà la norme N
Plus généralement une distance est une applicationde E  E sur ℝ vérifiant :

" x , y   E 2 , d (x , y )  0 ⇒ x  y

"  x , y   E 2 : d  x , y   d  y , x

"  x , y , z   E 3 , d  x , z   d  x , y   d  y , z 

On peut définir cette notion sur un espace quelconque , il sera alors métrique
On définit également pour toute partie A de E :d x, A  inf d x, y 

yA

Rem : d  x , A   0 ⇒ x  A 3°) Des exemples de normes :
• Soit E  K n , x  x1 ,...., xi ,..., xn  , on définit 3 normes :

n n 2 x 1  ∑ xi ; x 2  ∑ xi ; x 