Polynômes orthogonaux

d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . 15.2 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Une problème « historique »... . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Modèle de Riesenfeld . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.2 Modèle

« +∞−∞ »,« ∞ 0 »,« » et « 0 × ∞ » . 0 ∞ Il ne faut pas les confondre avec d’autre formes qui, elles, sont tout à fait connues, telles que : « ∞ × ∞ = ∞ » , « 0 = 0 » et « ∞ = ∞ » . 0 ∞ a - Fonctions polynômes La forme indéterminée rencontrée lors de l’étude des fonctions polynômes est « + ∞ − ∞ » Il faut alors factoriser par le terme de plus haut degré puis simplifier. Mathématiques Terminale ES – V06/09 – page 7 © Complétude 2009/2010 NB : On remarque que c’est alors le terme

espace à une dimension avec pour intervalle I = (−∞,∞). Avant de commencer à analyser les solutions d’un problème de Sturm-Liouville, introduisons une notion souvent utilisée dans cette théorie : l’orthogonalité. On a l’habitude de voir deux droites orthogonales, voire même d’appliquer l’orthogonalité sur deux vecteurs, mais généraliser ce concept aux fonctions apportent davantage d’opportunités lorsqu’on a un système de fonctions. La notion de distance et de projection dépendent directement de celle d’orthogonalité

n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Généralisation (admise) aux racines des polynômes . . . . . . Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Définition de ez pour z dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Propriétés de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Résolution de l’équation

Pour tout nombre réel x, on pose A( x ) = 3x 3 + 4 x 2 + x . Déterminer le signe de A( x ) suivant les valeurs de x. Solution On peut factoriser A( x ) en utilisant le facteur commun x : A( x ) = x ( 3x 2 + 4 x + 1). La parenthèse contient le polynôme du second degré 3x 2 + 4 x + 1 pour lequel ∆ = 4 et dont les racines sont donc x 1 = −4 − 2 −4 + 2 −1 = −1 et x 3 = = . 2× 3 2× 3 3 Comme 3 est positif, la parenthèse est positive en dehors des racines. x Signe de x Signe de 3x

heures : 22,5 h Cours + 22,5h TD Objectif : L’objectif de ce cours est d’introduire les concepts de base en algèbre et en arithmétique élémentaire. Descriptif :  Polynôme et fractions rationnelles. - Généralités sur les polynômes d’une variable à coefficients réels ou complexes. - Racines d’un polynôme. Procédé d’écriture d’un polynôme selon les puissances de (x-a). - Division euclidienne dans R[X], C[X] ; factorisation. - Décomposition en éléments simples dans R(X), C(X).  Groupes, Anneaux et Corps

AB, AC . Note : une grande attention sera portée à la rédaction et au détail des calculs. ( ) 0 – 0 + +∞ Dernière partie : on va tout casser ! Le polynôme P est défini par : +∞ +∞ P ( z ) = 2.z 4 − 4.z3 + 8.z 2 − 4.z + 6 a) Démontrer que les nombres i et −i sont deux racines du polynôme P. b) Pourquoi le polynôme P est-il factorisable par z 2 + 1 ? Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe z, on ait : g 0 Pour que le tableau ci-dessus soit complet

simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul d’intégrales de fonctions continues, la résolution de systèmes linéaires, l’approximation de fonctions par des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin

∀(λk )1≤k≤n ∈ Kn , k=1 Et on peut surtout en conclure que si deux combinaisons lin´aires d’une famille libre sont gales alors leurs e coefficients sont gaux. Proposition 6 λk xk = 0E ⇒ λk = 0. myismail.chez.com page Chapitre 2 ˆ POLYNOMES. 6 Mamouni My Ismail 1. Une famille form´e par un seul ´l´ment est libre si et seulement si cet ´l´ment n’est pas nul. e ee ee 2. Une famille form´e par deux ´l´ments est libre si et seulement si ces deux ´l´ments ne sont pas propore ee ee

. . . . . 36 2.22 Géométrie 3D : points, droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.23 Géométrie 3D : droites et plans remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.24 Géométrie 3D : intersections et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . 45 2.25 Géométrie 3D : norme, produit scalaire, produit vectoriel et déterminant . . . 46 2.26 Géométrie 3D : calcul de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.27 Géométrie 3D : boîte à outils . .