Polynômes orthogonaux

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . .

1 Notation 424 A.2 Unités en dehors du Système International 424 A.3 Constantes physiques fondamentales 425 A.4 Constantes utilisées 426 ANNEXE B • COMPLÉMENTS MATHÉMATIQUES 427 B.1 Polynômes d’Hermite 427 B.2 Polynômes de Laguerre 429 B.3 Fonctions de Legendre associées 431 B.4 Harmoniques sphériques 433 B.5 Fonctions hypergéométriques 436 BIBLIOGRAPHIE 439 INDEX 441 Avant-propos La mécanique

|■ expression du produit scalaire à l’aide du projeté | | | | |Exercice 8 |orthogonal | | | | | |Exercice 20

. . . . . . . . . . . 39 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Vecteur normal à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

u + v et uv sont dérivables sur I et : (ku) = ku ; (u + v) = u + v ; (uv) = u v + uv u 1 Si, de plus v ne s’annule pas sur I, alors et sont dérivables sur I et : v v v u u v − uv 1 = − 2 et = v v v v2 Corollaire : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition. Exercice : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : √ 1. f est la fonction définie sur [0; +∞[ par : f (x) = (x − 1) x 2. f est la fonction

fonction La courbe passe par les points et La tangente à la courbe au point B est par la est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note parallèle à l’axe des abscisses. 1) Déterminer par lecture graphique La tangente est horizontale donc 2) a) Vérifier que . . . c) Étudier le signe de donc Étude du signe de On remarque que . a le même signe que Ce polynôme de degré 2 a deux racines évidentes et . à l’extérieur des racines): donc on a le tableau de signes suivant (signe

fonction par un polynôme u(x) de degré n − 1 tel que ˜ ∀I de 1 à n, u(xI ) = uI . ˜ 2 Approximation d’une fonction uI u(x) ˜ u(x) x1 x2 xI xn Figure I.1 – Approximation de u(x) par un polymôme u(x) de degré n − 1. ˜ 1 1 N1 (x) x1 x2 N2 (x) x3 x4 x5 x1 x2 x3 1 x2 x5 x4 x5 1 N3 (x) x1 x4 x3 x4 N4 (x) x5 x1 x2 x3 1 N5 (x) x1 x2 x3 x4 x5 Figure I.2 – Polynômes de Lagrange

représentation graphique de la fonction inverse ? 1. Définition de la fonction inverse On appelle fonction homographique toute fonction de la forme : .Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1er degré.Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit : .D'où : . Exemple :La fonction  est définie si  soit .On en déduit . La  fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1 Algorithme de de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3 Raccords entre des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’inéquation M N < 10−1 . 4 4 − x < 10−1 si x < 0 M N < 10−1 signifie − < 10−1 ce qui équivaut à 4 −1 si x > 0 x x < 10 équivaut à x < −40 ou x > 40. 2x2 + 3x + 4 . x+1 On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. – Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x ∈ [0; +∞[, f (x) = ax + b + Exercice : Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = – Montrer que la droite ∆ d’équation y = 2x + 1 est asymptote à C. – Etudier la position relative