Polynômes orthogonaux

+3z) . 1. Déterminer une base de ker f et en déduire la dimension de Im f . 2. Déterminer la matrice A de f dans la base canonique et (a) vérifier que les vecteurs colonnes de A sont liés et en déduire une base de Im f . (b) vérifier que ker f est orthogonal (pour le produit scalaire canonique de R3) aux vecteurs lignes de A. 3. L’équation f (x, y, z) = (1,−2,−1) a-t-elle des solutions ? Faire deux preuves différentes. 4. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation f (x, y, z) = (1,2,−3) ? Plus

fonctions suivantes 1) flay=26x-4F 432) foxy =-¥E41F 53) foxy =x00-8) (On considére les fonctions fet g définies sur R par ffs) = 3x*—4x—4 et gle) = ~3x"46x+12 On note C; et Cy les représentations graphiques de ces deux fonctions dans un repize orthogonal. 1) Une des deux courbes est donnée dans le repére ci-dessous. Laquelle ? Justifier 2) a) Factoriser fx) 1) Eerite g(x) sous forme canonique 3) Dresser Ie tableau de variation de g puis tracer C, dans le méme repére que C; 4) a) Déterminer les

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

NN On définit la famille de fonctions : 1 pour 0≤t = 1 0 x(t)g(t) dt < f, g > est un produit scalaire et : < φj,k , φj,k′ >= 0 pour k = k ′ 1 ||φj,k ||2 =< φj,k , φj,k >= 2j Donc pour chaque j les fonctions φj,k (t) forment une base orthogonale engendrant un sous espace vectoriel noté Vj de dimension 2j de fonctions réelles intégrables sur [0, 1[. Cette base peut etre orthonormée en multipliant les √ φj,k (t) par 2j . LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 42/6 Ondelettes de Haar

est trivialement véri�ée. 1� Supposons u non nul. Alors q(u) &gt; 0, et l'on déduit encore que pour tout vecteur v, q(u)q(v)−B(u, v)B(v, u) ≥ 0. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc également véri�ée. Exercice 2 Soit Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré infé- rieur ou égal à n (n ≥ 1). Pour tous P, Q ∈ Rn[X], on pose B(P, Q) = ∫ 1 0 tP (t)Q′(t)dt et q(P ) = B(P, P ). 1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisy- métrique ? 2. Montrer que q est une forme

telle que ayH (x) + byH (x) + cyH (x) = 0. (2.27) Cela se fait en utilisant la méthode du polynôme caractéristique. Ensuite, il faut trouver une solution particulière yP (x) de l’équation avec le second membre. Une seule. Pour y parvenir, il faut du doigté et un peu de technique. Il faut faire des essais en fonction de ce à quoi ressemble le v(t) : a. Si v(x) est un polynôme, alors il faut essayer un polynôme, b. Si v(x) = cos(ωx) ou bien v(x) = sin(ωx), alors essayer yP (x) = A cos(x) + B sin(ωx)

que ′′ ′ ayH (x) + byH (x) + cyH (x) = 0. (2.27) Cela se fait en utilisant la méthode du polynôme caractéristique. Ensuite, il faut trouver une solution particulière yP (x) de l’équation avec le second membre. Une seule. Pour y parvenir, il faut du doigté et un peu de technique. Il faut faire des essais en fonction de ce à quoi ressemble le v(t) : a. Si v(x) est un polynôme, alors il faut essayer un polynôme, b. Si v(x) = cos(ωx) ou bien v(x) = sin(ωx), alors essayer yP (x) = A cos(x) + B sin(ωx)

cercle ? 5. Interprétation géométrique de la matrice de GRAM a. Si a, b et y sont trois vecteurs de E tels que le vecteur a soit orthogonal à la fois au vecteur b et au vecteur y, trouver une relation entre les déterminants Γ(a + b, y ), Γ(a, y ) et Γ(b, y ) . b. Si ( x, y ) est une famille libre de deux vecteurs de E2 , si F = vect{y} et si z est le projeté orthogonal du vecteur x sur F, montrer que Γ( x, y ) = Γ( x − z , y ) . 2/6 c. En déduire que si A, B et C sont trois points non alignés

consécutifs ont la même longueur : c’est donc un carré. − − − − 1 − → − → −→ −→ − − − − − → − → 1 − → −→ −→ − → − − 4. On a ΩN · AB′ = ΩA′ + ΩB · AΩ + ΩB′ = ΩA′ · ΩB′ + ΩB · ΩA car par 2 2 − − −→ − → − −→ − → − définition de la rotation ΩA et ΩA′ sont orthogonaux ainsi que ΩB et ΩB′ . − − − − → − → 1 − → − → −→ −→ − − − Donc ΩN · AB′ = ΩA′ · ΩB′ − ΩB · ΩA . 2 − − −→ −→ − → − → − − Or la rotation conservant les longueurs et les angles, ΩB · ΩA = ΩB′ · ΩA′ , −→ −′ −→ − donc ΩN · AB = 0. c. Conclusion les droites

graphique d'une fonction. Construire la représentation graphique de la réciproque d'une fonction bijective. x a f ( x − a) ; x a f ( x) + b ; x a f (x ) ; x a f ( x ) ; x a f ( x − a) + b Application à la représentation graphique des fonctions polynômes du second degré et de quelques fonctions homographiques. 2) Eléments de symétrie de la courbe représentative d'une fonction 3) Représentation graphique de la réciproque d'une bijection • • Programmes de mathématiques du second cycle- Premières