CAPES
Exercices Corrigés
Formes quadratiques
2009-2010
Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique associée.
1. Montrer l'identité de Cauchy q (q(u)v −B(u, v)u) = q(u) [q(u)q(v)−B(u, v)B(v, u)] . (1)
2. En déduire, si q est dé�nie positive, l'inégalité de Cauchy-Schwarz
B(u, v)B(v, u) ≤ q(u)q(v). (2)
Solution -
1. La formule s'obtient par un calcul direct utilisant la bilinéarité de B.
En e�et pour tous u, v ∈ V , on a : q (q(u)v −B(u, v)u) …afficher plus de contenu…

3. Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1, X, . . . ,Xn).
4. Pour n = 2, déterminer la signature de q. La forme q est-elle positive ? négative ?
5. Déterminer une base de R2[X] qui soit q-orthogonale.
Solution -
1. Pour tous P1, P2, Q ∈ Rn[X] et tout a ∈ R, on a
B(P1 + aP2, Q) =
∫ 1
0
t(P1(t) + aP2(t))Q′(t)dt
=
∫ 1
0
tP1(t)Q′(t)dt + a
∫ 1
0
tP2(t)Q′(t)dt
= B(P1, Q) + aB(P2, Q), et donc B est linéaire à gauche.
D'un autre côté, pour tous Q1, Q2, P ∈ Rn[X] et tout a ∈ R, on a
B(P, Q1 + aQ2) =
∫ 1
0
tP (t)(Q1 + aQ2)′(t)dt
=
∫ 1
0
tP (t)Q′
1(t)dt + a
∫ 1
0
tP (t)Q′
2(t)dt
= B(P,Q1) + aB(P,Q2), et donc B est linéaire à droite, ce qui achève de montrer que B est une forme bilinéaire.
2Remarquons que
B(1, X) =
∫ 1 …afficher plus de contenu…

7Ainsi, on déduit que
F⊥ =
{(
a b
−b a
)
, a, b ∈ R
}
.
Exercice 4 E�ectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :
1. q : R3 −→ R, q(x, y, z) = 2x2 + y2 − z2 + 3xy − 4xz.
2. q : R3 −→ R, q(x, y, z) = x2 + y2 − az2 + 3xy − bxz + yz.
On discutera suivant les valeurs de a, b ∈ R.
3. q : R4 −→ R, q(x, y, z, t) = x2 + (1 + 2λ− µ)y2 + (1 + λ)z2 + (1 + 2λ + µ)t2
+2xy + 2xz − 2xt + 2(1− λ)yz − 2(1 + λ)yt + 2(λ− 1)zt.
On discutera suivant les valeurs de λ, µ ∈ R.
4. q : R5 −→ R, q(x, y, z, t, s) = xy − xt + yz − yt + ys + zt− zs + 2st.
Solution -
1. On a q(x, y, z) = 2x2 + y2 − z2 + 3xy − 4xz
= 2(x2 +
1
2 x(3y − 4z)) + y2 − z2
= 2(x +
3
4 y − z)2 − 2(
3
4 y − z)2 + y2 −