Polynômes orthogonaux

==> (x+3)²=0 ==> x=3 et y=-3Un seul point de contact et la droite y=2*x+9 est tangente à C2 en {-3,3}5dSoit M{x,y} le point de tangence d'une droite y=m*x+9 avec le cercle C2 de centre D{-1,2}Les vecteurs DM{x+1, y-2} et BM{x,y-9} sont donc orthogonaux ce qui signifie que le produit de leurs coefficients directeur vaut -1 soit (-(y-2)/(x+1))*(-(y-9)/x)=-1 ==>(y-2)*(y-9)+x*(x+1)=0 ==> x²+x+y²-11 y+18=0 M appartient au cercle C2 ==> x²+2 x+y²-4 y=0et x et y sont donc solutions du système

suivante : Trouver ψ(x, y) − 1 R −→ J(ψ) = 2 Ω (gradψ)2 dω Le potentiel φ et la fonction de courant ψ vérifient donc la même équation, mais avec des conditions aux limites différentes. Exercice : montrez que ce sont deux familles de fonctions orthogonales, i.e. les courbes potentiel φ = cste sont perpendiculaires aux lignes de courant. Les conditions aux limites sur le potentiel φ sont : 1. en entrée AF (x = −5H) : φ = 5HU0 2. en sortie DE (x = 0) : φ = 0 3. sur les parois ABCD et EF :

L L  0 L  0   L0 0 f  lim   g L L   0 0  ( On applique la règle des signes). Remarque :  0    , , 0   et sont des formes indéterminées.  0 Théorème * Soit P  x   a n x n  a n 1x n 1  ......  a1x  a 0 un polynôme de degré n  1 . Alors lim P  x   lim a n x n et x   * Soit f  x   x   a n x  a n 1x n bp x  bp1x p Alors lim f  x   lim x   Théorème sin x lim 1 ; x 0 x x   n 1 p 1 lim P  x   lim a n x n . x   x 

. . . . 8.4.1 La constante δ . . . . . . . . 8.4.2 Calcul d’intégrale multiple via 9 Polynômes 180 9.1 Polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.1 Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.2 Représentation dense et représentation creuse . . . . . 184 Calcul mathématique avec Sage 9.1.3 Arithmétique euclidienne . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Polynômes irréductibles et factorisation . . . . . 9.1.5 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . .

= - arg z [2π] z ; arg (zn) = n arg z [2π] • arg  z  = arg z - arg z' [2π] z'  • arg ( z ) = - arg z [2π] ; arg (- z) = arg z + π [2π] • → → AB et AC sont colinéaires zC - zA ⇔ ∈ IR* zB - zA ⇔ • → → → → AB et AC sont orthogonaux ⇔ AB . AC = 0 zC - zA ⇔ est imaginaire pur non nul ⇔ zB - zA → → AC = α AB , α ∈ IR* zC - zA  ⇔ arg  z - z  = 0 [π]  B A z - zA  π arg  C z - z  = 2 [π]  B A L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe

Calculer le nombre complexe  . EXERCICE 3 (5 points) On considère la fonction f définie sur  par f (x) = 1+ e−x − 2e−2x et  sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal . (unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées). 1. a. Soit le polynôme P défini sur  par P(X) = 1 + X − 2X2. Étudier le signe de P(X). b. En déduire le signe de f (x) sur . c. Que peut-on en déduire pour la courbe  ? 2. Déterminer la limite de la

Im(T), noyau et image de T D 2.4 D 2.5 Opérateur borné T Norme de T, T , L(E, F), L(E), sous-multiplicativité D 2.6 D 2.7 D 2.8 Application ouverte Application presque ouverte Graphe de T, G(T) E∗ , espace dual de E E∗∗ , bidual de E Orthogonal ou polaire de G, G⊥ c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. D 2.9 D 2.10 P2. Propriétés No P 2.1 P 2.2 Désignation Caractérisation des Banach Théorème de Riesz (Frédéric) Énoncé Un espace normé E est de Banach ssi toute série

Me5 Fonction composée de fonctions de R vers R : - définition, - applications à différentes études : ensemble de définition, sens de variation,... - mise en œuvre sur des exemples : fonctions polynômes du second degré, fonctions homographiques, autre(s) exemple(s). Me6 Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à coefficients réels, définie sur R : - définition, - application à l’étude de ce type de fonctions, - application à la résolution d’équations et d’inéquations du second degré

représente une série statistique ainsi que sa médiane, ses quartiles et ses valeurs extrêmes : Intervalle interquartile ]Q1 ; Q3 [ Ecart interquartile Q3 − Q1 Une série statistique double de n couples ( xi ; yi ) se représente, dans un repère orthogonal bien choisi, par un nuage de points. Le point moyen G est le point dont les coordonnées sont xG = x = ∑x i =1 i =n i (moyenne des séries) n n Selon la forme du nuage, on peut l’ajuster de manière affine, quadratique (carré/racine

produit interne est un moyen de mesurer comment deux vecteurs sont parallèles. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Remarque : angle en deux vecteurs. Si deux vecteurs qui ne sont pas parallèles forment un angle entre eux. Si x et y sont deux vecteurs Euclidiens, alors ils forment un angle θ définit par : cosθ = x, y . x y Les deux vecteurs x et y sont dit orthogonaux quand leur produit interne est nul ( θ =90°), on le note x ⊥ y . Remarque : parfois le produit entre