Polynômes orthogonaux

Second Degré I. Fonctions polynômes du second degré 1) Forme développée Définition : Soit f définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0. f est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme. Les réels a, b et c sont appelés coefficients. Exemples : x2 + 2x – 8 est un trinôme de coefficients a = ……, b = …… et c = ……. . 3 – 6x2 est un trinôme de coefficients a = ……, b = …… et c = ……. . 3x + 5 n’est pas un trinôme (car a = …), c’est un polynôme de degré …… (fonction

calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Droites et plans

Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;,). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2. b. f estelle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; ]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; ] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer

de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Droites et plans dans

coordonnées Propriétés du calcul vectoriel 49 49 50 52 52 54 55 58 59 61 61 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le produit vectoriel (cross product) Le produit mixte

différentiel dans l’application QPSK/DQPSK. Expérience 4  Embrouillage et désembrouillage des données ..................... 67  Le rôle de l'embrouillage et du désembrouillage des données. Circuits d'embrouillage et de désembrouillage. Le choix du polynôme. Réponse impulsionnelle du désembrouilleur. Embrouillage et désembrouillage de l’application QPSK/DQPSK. Expérience 5  Dépannage d’un modem QPSK/DQPSK .................................. 81  Suivi des signaux. La technique dite de la division du circuit

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances

3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens . . . . 1.3.2 Espaces euclidiens . . . . . . . 1.3.3 Automorphismes orthogonaux 7 7 7 7 8 10 11 11 12 12 12 13 14 14 15 15 17 17 17 18 18 19 19 20 21 21 22 23

sur I, que l’on déterminera. 2 (x + 1)2 + 1 page 1/2 ✞ ☎ ✝Exercice 5 ✆ −x3 + 5x2 − 7x + 3 · (x − 2)2 → − − → On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). 1. On considère le polynôme P défini par P (x) = −x3 + 6x2 − 13x + 8. Calculer P (1). En déduire une factorisation de P puis étudier son signe sur IR. P (x) · 2. Montrer que, pour tout x ̸= 2, f ′ (x) = (x − 2)3 3. Étudier les variations de f . 4. Soit ∆ la droite d’équation